Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

Descomposición en factores primos

Antes de nada, debes conocer las diferencias entre m.c.m y m.c.d:

• El Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) de varios números es el menor de los múltiplos comunes distinto de $$0$$.
• El Máximo Común Divisor (m.c.d) de varios números es el mayor de los divisores comunes.
  

Para calcular el m.c.m y el m.c.d tienes que descomponer los números en factores primos.

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procedimiento

1. ​Busca un divisor primo del número que quieres descomponer.
   
2. Divide el número entre el divisor primo.
   
3. Repite el proceso hasta obtener un uno como cociente.
   

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Ejemplo

Descompón en factores primos el número $$12$$: 

$$12 : \bold{2} =6 \\6:\bold{2} = 3 \\3 :\bold{3} =1$$​​

Por lo tanto, tendríamos que la descomposición en factores primos es:

$$12 = 2 \cdot 2 \cdot3=2^2 \cdot 3$$​​

Cálculo de m.c.m. y m.c.d.

Para calcular el m.c.m. y el m.c.d. de varios números debes seguir los siguientes pasos:

Procedimiento

1. ​Descompón en factores primos los números correspondientes.
   
2. Aquí el proceso será diferente si se trata del m.c.m o el m.c.d.
   1. Para calcular el m.c.m., selecciona los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
      
   2. Para calcular el m.c.d., selecciona los factores comunes con menor exponente.
      

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Ejemplo

Calcula el m.c.m de $$5$$ y $$25$$:

Descompón en factores primos los dos números:

  $$5:\bold5=1$$

$$25 : \bold 5=5 \\5: \bold 5 =1$$

Por lo tanto, tenemos que:

$$5=5 \\25= 5\cdot5=5^2$$​​

Como debemos tomar los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente, tendremos que:

$$m.c.m. (5,25)=5^2=25$$​​

Ejemplo

Calcula el m.c.d de $$27$$ y $$12$$:

Descompón en factores primos los dos números:

$$27 : \bold 3=9 \\9 : \bold 3=3 \\3 : \bold 3=1$$

$$12 : \bold{2} =6 \\6:\bold{2} = 3 \\3 :\bold{3} =1$$​​

Por lo tanto, tenemos que:

$$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3=3^3 \\12 = 2^2 \cdot 3$$​​

Como debemos tomar los factores comunes elevados al menor exponente:

$$m.c.d. (27,12)=3$$​​

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