Unendlich tiefer eindimensionaler Potentialtopf

Wird ein Elektron im Rahmen eines Atoms betrachtet, wird offensichtlich, dass das Elektron kein freies Objekt ist, da es vom positiven Kern angezogen wird. Es hat somit einen beschränkten Aufenthaltsbereich. Ein einfaches, übergreifendes Modell für solche gebundenen Objekte bietet der eindimensionale, unendliche Potentialtopf.

Potentielle Energie und Potentialtopf

Potentialtopf: Ausgehend von einem Punkt $$\mathrm{P}_0$$, bei dem die potentielle Energie gerade Null ist, steigt die $$E_{pot}$$​ in alle Richtungen auf einen Maximalwert $$E_{max}$$ an (A-C). Ist nun ein Quantenobjekt, beispielsweise ein Elektron, in diesem Topf, dessen Energie geringer ist als die $$E_{max}$$, ist das Objekt in dem Potentialtopf gefangen.

Unendlicher Potentialtopf: Angenommen, dass die $$E_{max}$$ unbegrenzt anwächst und somit die Grenze, bei der $$E_{pot}(x)\ \mathrm{von}\ 0$$​ auf $$E_{max}$$  ansteigt, unendlich schmal wird (D). Wenn dies der Fall ist, und das Ganze lediglich entlang einer Richtung betrachtet wird, wird vom eindimensionalen, unendlichen Potentialtopf gesprochen. 

Randbedingungen und Energiezustände

Randbedingungen:

Ein Quantenobjekt, das also außerhalb des Potentialtopfs wäre, müsste eine unendlich große potentielle Energie haben, was jedoch unmöglich ist. Daher ist ihre Zustandsgleichung außerhalb des Topfs Null. Dasselbe gilt für die Quantenobjekte am Rand des Potentialtopfs, dort ist die Zustandsgleichung ebenfalls Null. Das bedeutet, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Quantenobjekts außerhalb und an den Rändern des Topfs gleich null ist, da das zu überwindende Potential unendlich groß und somit nicht überwindbar ist.

Bekanntlich kann ein Quantenobjekt als Teilchen, aber auch als Welle betrachtet werden. Im Folgenden wird das Objekt als Welle betrachtet, deren Zustandsgleichung an den Rändern Null sein muss, d. h. die Welle hat dort sogenannte Knoten. Eine Welle, die auf beiden Seiten einen solchen Knoten hat, wird bekanntlich als stehende Welle bezeichnet.

Energiewerte:

Um nun die Energiewerte zu bestimmen, wird in einem ersten Schritt die Formel für die Energie freier Objekte betrachtet:

​$$E = \frac{p^2}{2m} = \frac{h^2}{\lambda^2 \cdot 2m}$$​​

Dabei wurde für den Impuls die Umformung der Wellenlänge nach de-Broglie verwendet: $$\lambda = \frac{h}{p} \ \rightarrow \ p = \frac{h}{\lambda}$$ (mit $$h:$$​ Planck'sches Wirkungsquantum).

Da es sich aber nicht um freie Objekte handelt, sondern um Objekte mit Zustandsfunktionen einer stehenden Welle, ist die Wellenlänge $$\lambda$$​ der doppelte Abstand $$2d$$​ zweier Knoten. Da bei der stehenden Welle an den Rändern je ein Knoten ist, kommen für d nur Werte, für die $$L = n \cdot d$$​ gilt, infrage. Dabei ist $$L$$ die Länge des Potentialtopfs. Für die Energiewerte ergibt sich also Folgendes:

​$$E_n = \frac{n^2 \cdot h^2}{8m \cdot L^2} = n^2 \cdot E_1 \ \mathrm{mit} \ E_1 = \frac{h^2}{8m \cdot L^2}$$​​

Im Grundzustand nimmt die Energie den kleinstmöglichen Wert $$E_1$$​ an.

Beispiel

Wie groß ist der kleinstmögliche Energiewert eines Elektrons in einem Potentialtopf mit einer Länge von: $$2{,}13 \cdot 10^{-10}\ m$$​

​

Gegeben: Länge des Potentialtopfs: $$L = 2{,}13 \cdot 10^{-10}\ m$$, Planck'sches Wirkungsquantum: $$h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\ J\cdot s$$, Masse des Objekts (Masse Elektron): $$m_E = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\ kg$$​

Gesucht: Energiewert des Grundzustands $$E_1$$​

Lösung:

Um den kleinstmöglichen Energiewert zu bestimmen, müssen wir den Energiewert $$E_1$$ berechnen. Wir verwenden dafür die obige Formel:

$$\begin{aligned}E_1 &= \frac{h^2}{8m \cdot L^2}\\ &= \frac{(6{,}626 \cdot 10^{-34}\ J\cdot s)^2}{8 \cdot 9{,}109 \cdot 10^{-31}\ kg \cdot(2{,}13 \cdot 10^{-10}\ m)^2}\\ &= 1{,}328 \cdot 10^{-18}\ J\end{aligned}$$​​

Ergänzung

Ein Objekt im Topf ist örtlich lokalisiert und daher ist dessen Impuls ebenso wie die kinetische Energie in jedem Zustand um einen Mittelwert verteilt. Das ist so, aufgrund der Unbestimmtheitsrelation, auch Unschärferelation genannt, zwischen Ort und Impuls. Zudem wird die Wahrscheinlichkeit, dass die kinetische Energie hohe Werte annimmt, größer, bei einem kleinen Potentialtopf, da die Energiewerte umso größer sind, je kleiner $$L$$​ ist.