Auflösungsvermögen optischer Instrumente

​​Das Wichtigste in Kürze

Optische Instrumente dienen immer dazu, ein Bild von einem Objekt zu erzeugen. Dazu wird Licht, welches vom Objekt ausgeht, gebündelt in einem Bildpunkt. Leider ist es unmöglich ein perfektes Bild zu generieren, da immer ein Teil aufgrund der Beugung unscharf ist. Da das Licht durch eine Sammellinse geht, die in der Größe begrenzt ist, kommt es zu Beugungseffekten, welche ein ideales Bild stören. Das Auflösungsvermögen beschreibt die Fähigkeit, zwei eng benachbarte Punkte gerade noch getrennt zu sehen.

Berechnung

Allgemein gilt: je größer der Durchmesser $$d$$ der Öffnung des Instruments, umso besser ist das Auflösungsvermögen. Der Winkelabstand, den die zwei Punkte haben müssen, um noch getrennt erkennbar zu sein ist:

$$\sin\alpha = 1,22 \cdot \dfrac{\lambda}{d} \approx \dfrac{\lambda}{d}$$

Wird Licht an einer runden Öffnung gebeugt, wie das bei optischen Instrumenten der Fall ist, dann entsteht kein Beugungsmuster, sondern ein sogenanntes Beugungsscheibchen. Die Breite dieses Scheibchens entspricht dem Maximum nullter Ordnung des Spalts. Das Scheibchen ist zudem umgeben von weiteren Maxima, es gibt eine Art Ringmuster. Man kann zwei Punkte gerade noch auseinanderhalten, wenn das erste Minimum des einen Punktes im nullten Maximum des anderen liegt. Dann sind die beiden Scheibchen gerade noch trennbar. 

Diese Beugungsscheibchen sind umso kleiner, umso größer die Blendenöffnung, sprich je größer die Linse oder der Spiegel, desto größer ist das Auflösungsvermögen. Es gibt noch zwei weitere Wege, das Auflösungsvermögen eines Instruments zu erhöhen. Zum einen, indem man Licht mit kleinerer Wellenlänge verwendet, zum anderen, indem man die Brennweite der Linse verringert.  

Beispiel:

Bei guter Helligkeit hat die menschliche Pupille einen Durchmesser von $$2\,mm$$. Das Licht hat eine Wellenlänge von $$550\,nm$$. Wie weit dürfen zwei Punkte auseinander sein, damit man sie mit einem Abstand von $$25\,cm$$ noch trennen kann?

Gegeben: $$d= 2\, mm = 0,002\,m$$, $$\lambda= 550\,nm = 5,5\cdot 10^{-7}\,m$$​

Gesucht: $$s=?$$ 

Lösung: 

Schritt 1: In Formel einsetzen und Winkel $$\alpha$$ berechnen:

$$\alpha = \arcsin(1,22\cdot\dfrac{5,5 \cdot 10^{-7}\,m}{0,002\,m}) \approx 0,02\degree$$​​

Schritt 2: Mithilfe Trigonometrie Strecke $$s$$ berechnen: 

$$0,25\,m \cdot \sin0,02\degree \approx 0,1\,mm$$​​

Der Mensch kann in guter Helligkeit Punkte in einem Abstand von $$0,1\,mm$$​ auf $$25\,cm$$​ auseinanderhalten!

Abbe-Limit

Es gibt mehrere Ansätze, um den minimalen Abstand zu berechnen. Diese sind teilweise auch nur für Spezialfälle anzuwenden, deshalb geht man hier von einem herkömmlichen Lichtmikroskop aus. Hier ist ein kurzer Überblick über den Aufbau eines Lichtmikroskops:

Für das klassische Lichtmikroskop hat E. Abbe Formeln aufgestellt, um das sogenannte Abbe-Limit zu berechnen. Das Abbe-Limit ist absolut und kann mit klassischer Mikroskopie nicht umgangen werden. 

Für die Formeln wird die nummerische Apertur, kurz $$NA$$​, verwendet. Diese ist mit $$n\cdot \sin\alpha$$ definiert, wobei $$n$$ der Brechungsindex des Immersionsmediums ist und $$\alpha$$ der halbe Öffnungswinkel des Objektivs. Das Immersionsmedium ist eine Flüssigkeit, meistens Öl oder Glycerin, in der das Präparat eingebettet wird. 

Weiterhin spricht Abbe von einem Kondensor. Ein Kondensor ist ein Hilfsmittel, um die Bildschärfe zu erhöhen. Der Kondensor ist zwischen der Lichtquelle und dem Objekttisch montiert und führt dank seiner Sammellinsen zu einer besseren Beleuchtung des Präparats. Um also den minimalen Abstand $$d$$ zu berechnen, gilt folgende Bedingung:

$$d= \dfrac{\lambda}{NA_{Objektiv}+NA_{Kondensor}}$$​​

Bei einer zentralen Beleuchtung, sprich bei einem Mikroskop ohne Kondensor gilt $$NA_{Kondensor} = 0$$.

Beispiel

Gegeben: ein Objektiv mit $$NA= 0.65$$ (bei vielen 40x-Objektiven), Kondensor mit $$NA=0,45$$ und Licht mit $$\lambda= 550\,nm$$

Gesucht: Abstand $$d=?$$​​

Lösung: 

​$$d= \dfrac{550\,nm}{0,65+0,45} = 500\,nm$$​​

Bei diesem Mikroskop müssen zwei Punkte mindestens $$500 \,nm$$ auseinanderliegen, um noch als getrennte Struktur wahrgenommen zu werden! 

Mit modernen Mikroskopie Technik kann diese Grenze überschritten werden, jedoch nur mit aufwendigen Verfahren und moderner Technik

Für höhere Stufen

Bei der klassischen Lichtmikroskopie sind die Grenzen der Auflösung relativ schnell erreicht. Um das Auflösungsvermögen weiter zu verbessern, braucht es andere Methoden. Eine solche andere Methode ist beispielsweise das Elektronenmikroskop. Bei diesem optischen Instrument wird das Objekt mit Elektronen beschossen. Diese werden absorbiert oder reflektiert. Anhand von dem, was zurückkommt, erstellt das Mikroskop dann ein Bild. Mit dieser Technik ist eine bis zu 1 000 000-fache Vergrößerung möglich! Zum Vergleich, ein herkömmliches Mikroskop schafft maximal eine Vergrößerung von 2000x.