Interferenz und Reflexion am optischen Gitter

Unter einem optischen Gitter versteht man Gitter aus Spalten, deren Gitterabstand $$g$$ auf der Größenordnung der Wellenlänge $$\lambda$$​ liegt. Damit entstehen Interferenzmuster, die eine Beugung oder Reflexion verursachen können.

Interferenz am Gitter

Eine Interferenz ist eine Überlagerung von Wellen, sodass du die entstehende Welle berechnen kannst, indem du die Amplituden beider Wellen addierst. Wenn zwei Wellenberge oder Täler aufeinander treffen, erhältst du an dem Punkt die doppelte Ausrenkung. Das nennt man konstruktive Interferenz. Wenn hingegen ein Wellenberg und ein Wellental an einem Punkt aufeinander treffen, löschen sich die beiden aus und man spricht von negativer Interferenz.

Du kannst nach dem Huygens'schen Prinzip die Maxima der (Fundamentalwellen) aufzeichnen. Dann siehst du, dass eine konstruktive Interferenz an den Punkten auftritt, wenn zwei Ringe, welche die Maxima darstellen, aufeinander treffen. Du kannst auch sehen, dass diese Punkte Linien bilden. Die Punkte liegen also in Abständen von ganzzahligen Wellenlängen von den Spalten entfernt. Wenn du das Abstandsverhältnis der Punkte auf einer Linie miteinander vergleichst, siehst du, dass der Wegunterschied $$\Delta s$$​, also von einem Spalt zum Punkt verglichen mit dem Weg vom andern Spalt zum Punkt, ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist. Dies gilt für alle Punkte auf der Linie und daher haben wir konstruktive Interferenz entlang der Linien mit Winkel $$\alpha$$​.

​$$\sin\alpha = \dfrac{\Delta s}{g}, \quad \Delta s = n\cdot\lambda, \quad n=1,2,3,\ldots$$

Daraus erhalten wir einen Winkel $$\alpha_n$$, unter dem ein Maximum auftritt, für jede natürliche Zahl $$n$$​:

​$$\sin\alpha_n = n\cdot\dfrac{\lambda}{g}$$​​

Röntgenbeugung

Bei der Röntgenbeugung wird die einfallende Welle an den Ionen in einem Kristallgitter reflektiert. Es entsteht hierbei eine Interferenz zwischen Wellen, die an unterschiedlichen Gitterebenen reflektiert werden. Du kannst wie in der Grafik dargestellt wieder das Huygens'sche Prinzip anwenden, um die Maxima zu finden. Auch hier muss der Wegunterschied wieder ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge sein, wobei der Wegunterschied hier zweimal $$\Delta s$$​ ist und der Netzebenenabstand $$d$$​ übernimmt die Rolle des Gitterabstandes:

​$$2\Delta s = n\cdot\lambda, \quad \Delta s = d\sin\alpha$$

Wenn du jetzt den Ausdruck für $$\Delta s$$​ einsetzt und durch $$2d$$​ teilst, erhältst du wieder die Bedingung für die Winkel unter denen Maxima entstehen:

​$$\sin\alpha_n = n\cdot\dfrac{\lambda}{2d}$$​​

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Beispiel:

Man kann dieses Phänomen nutzen, um die Abstände der Netzebenen von Kristallen zu messen, indem man einen Lichtstrahl unter einem verstellbaren Winkel in einen Kristall einfallen lässt und dann misst, bei welchen Winkeln Maxima auftreten. Da die Netzebenen von Kristallen sehr nahe beieinander liegen, benötigt man auch eine sehr kleine Wellenlänge, um den Effekt zu erzeugen. Deshalb wird dazu Röntgenstrahlung verwendet.