Schaltungen mit Widerstand, Spule und Kondensator

Durch die frequenzabhängigen Blindwiderstände von Kondensatoren und Spulen kann man Frequenzbereiche von Wechselströmen beeinflussen. Den Widerstand einer Schaltung, die aus Widerstand, Spule und Kondensator besteht, nennt man Impedanz $$Z$$​.

Der Siebkreis

Beim Siebkreis werden Widerstand, Spule und Kondensator in Reihe geschaltet. Die Impedanz ist dann gegeben durch den Quotienten der Effektivwerte von Spannung und Stromstärke:

​$$Z = \dfrac{U_{eff}}{I_{eff}} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + \left(\omega\cdot L - \dfrac{1}{\omega\cdot C} \right)^2}$$​​

Hinweis: Der Quotient für die Impedanz folgt analog aus der Gleichung:

$$U = R\cdot I \ \Rightarrow \ R = \dfrac{U}{I}$$.​

Bemerkung: Die Effektivwerte sind die Wurzel aus dem zeitlichen Mittel $$\langle\rangle$$ des Quadrats der Größen: $$U_{eff} = \sqrt{\langle U^2 \rangle}, \ I_{eff} = \sqrt{\langle I^2 \rangle}$$.​

Die Impedanz ist abhängig von der Frequenz des Wechselstromes und aus dem Ausdruck oben kannst du sehen, dass die Impedanz minimal ist, wenn der Blindwiderstand verschwindet. Die Frequenz, bei der dies der Fall ist, nennt man Eigenfrequenz $$f_0$$. Du kannst sie berechnen, indem du die Gleichung für den verschwindenden Blindwiderstand nach der Eigen-Kreisfrequenz $$\omega_0$$​ auflöst:

​$$X_L - X_C = \omega_0\cdot L - \dfrac{1}{\omega_0\cdot C} \overset{!}{=} 0 \quad |\cdot\dfrac{\omega_0}{L}\\ \Leftrightarrow \quad \omega_0^2 - \dfrac{1}{L\cdot C} = 0$$​​

Wenn du den Term mit den Konstanten auf die andere Seite bringst und die Wurzel ziehst, erhältst du die gesuchte Kreisfrequenz und durch Division mit $$2\pi$$​ die Eigenfrequenz:

​$$\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L\cdot C}}, \quad f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L\cdot C}}$$​​

Bei der Eigenfrequenz ist die Stromstärke bei gleicher Spannung am größten und du kannst das nutzen, um aus einem Frequenzspektrum die Eigenfrequenz herauszufiltern. Aus diesem Grund wird dieser Stromkreis als Siebkreis bezeichnet.

1. Kondensator mit Kapazität $$C$$
   
2. Widerstand $$R$$
   
3. Spule mit Induktivität $$L$$​​
   

Der Sperrkreis

Um einen Sperrkreis zu bilden, werden die Spule und der Kondensator parallel geschaltet. Dieser Stromkreis hat kein Impedanz-Minimum, sondern ein Maximum. Wenn das Maximum erreicht wird, schwingt der Strom nur noch im Parallelkreis und ist daher an der Spule gleich groß wie am Kondensator. Da die beiden parallel geschaltet sind, liegt auch die gleiche Spannung an. Daher sind beide Widerstände gleich groß:

$$X_L = X_C = \dfrac{U_{eff}}{I_{eff}}$$​ 

Wenn du mit der Gleichung oben vergleichst, siehst du, dass du die beiden Gleichungen äquivalent sind:

​$$X_L - X_C = 0 \quad |+X_C \quad \Leftrightarrow \quad X_L = X_C$$​,

und daher liegt das Maximum der Impedanz auch wieder bei der gleichen Frequenz $$f_0$$​. In diesem Fall wird die Frequenz als Sperrfrequenz bezeichnet, da die Ströme bei der Frequenz und gleicher Spannung am geringsten sind. Weil du diesen Stromkreis dazu nutzen kannst, um eine Frequenz aus einem Spektrum zu sperren, wird er Sperrkreis genannt.

1. Kondensator mit Kapazität $C$
   
2. Widerstand $R$
   
3. Spule mit Induktivität $L$