Selbstinduktion & Lenz'sches Gesetz: Definition & Beispiel

Wenn sich der Strom und damit das Magnetfeld einer Spule ändert, wird dadurch auch in derselben Spule eine Spannung induziert.

Lenz'sches Gesetz

Wenn der Strom in einer Spule erhöht wird, wird das Magnetfeld der Spule stärker und induziert durch diese Zunahme eine Spannung in der Spule, die dem Stromfluss entgegengerichtet ist.

Bemerkung: Wäre das Gegenteil der Fall, würde das den Strom und dadurch das Magnetfeld noch mehr verstärken, was eine weitere Erhöhung des Stromes durch Induktion zufolge hätte, und so weiter.

Bei einer Abnahme des Stromes geht die Änderung des Magnetfeldes in die andere Richtung und daher ist nun die induzierte Spannung mit dem Strom gleichgerichtet und führt zu einer Erhöhung des Stromes. Die Selbstinduktion führt daher immer zu einer Spannung, die der Veränderung des Magnetfeldes entgegenwirkt und verlangsamt daher den Prozess.

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Induktivität

Um die induzierte Spannung bei der Selbstinduktion zu berechnen, kannst du wieder das Induktionsgesetz verwenden. Die Feldstärke einer Spule mit $$N$$​ Windungen und Länge $$l$$​, die mit einem Strom $$I$$​ durchflossen wird, ist durch

​$$B = \mu\cdot N\cdot\dfrac{I}{l}$$​​

gegeben, wobei die Fähigkeit eines Materials, sich einem Magnetfeld anzupassen, magnetische Permeabilität $$\mu$$​ genannt wird. Die Induktionsspannung wird dann durch folgenden Ausdruck beschrieben:

​$$U_{ind} = -L\cdot\dot{I}(t)$$​​
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Die induzierte Spannung $$U_{ind}$$​ ist proportional zur Änderung des Stromes $$\dot{I}$$ und ihr entgegengesetzt, daher das Vorzeichen. Diese Eigenschaft der Spule wird durch die Induktivität $$L$$​ beschrieben:

​$$L = \mu\cdot\dfrac{N^2}{l}\cdot A$$​​

Sie wird in der Einheit Henry angegeben: $$1\ H = 1\ \dfrac{V\cdot s}{A}$$​, und $$A$$​ beschreibt den Querschnitt der Spule.

Hinweis: Auf den ersten Blick sieht es so aus, als ob eine Erhöhung der Windungszahl eine quadratische Erhöhung der Induktivität herbeiführen würde. Wenn du aber die Windungszahl bei gleichem Draht- und Spulenquerschnitt verdoppelst, wird die Spule auch doppelt so lang und daher wird L nur verdoppelt und nicht vervierfacht.

​$$L' = \mu\cdot\dfrac{(2N)^2}{2l}\cdot A = 2L$$​​

Beispiel

Durch eine Spule mit einer Induktivität von 3 H fließt ein Strom von 10 A. Nimm an, dass es etwa eine Millisekunde dauert, bis der Strom zusammenbricht, wenn du den Stecker ziehst. Wie groß ist die Spannung, die dadurch induziert wird?

Gegeben: $$L = 3\ H, \ I_1 = 10\ A, \ I_2 = 0\ A, \ \Delta t = 1\ ms$$​​

Gesucht: $$U_{ind}$$​​

Berechne zuerst die Veränderung des Stromes.

​$$\dot{I} = \dfrac{\Delta I}{\Delta t} = \dfrac{I_2-I_1}{\Delta t} = \dfrac{0\ A - 10\ A}{1\ ms} = -10000\ \dfrac{A}{s}$$​​

Nun kannst du das Resultat in die Formel für die induzierte Spannung einsetzen.

$$U_{ind} = -L\cdot\dot{I} = -3\ H\cdot\left(-10000\ \dfrac{A}{s}\right) = 30000\ \dfrac{V\cdot s}{A}\cdot\dfrac{A}{s} = \underline{30000\ V}$$​​

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Zusatzinfo für höhere Klassen

Der Ausdruck für die Induktivität kann vom Induktionsgesetz hergeleitet werden:

​$$U_{ind} = -\dot{\Phi}(t) = -\dfrac{d}{dt}(N\ \vec{A}\cdot\vec{B}(t)) = -N\cdot A\cdot\mu\cdot N\cdot\dfrac{\dot{I}(t)}{l} = -L\cdot\dot{I}(t)$$​​

Hohe Spannungen beim Ausschalten

Wenn man einen Stromkreis plötzlich trennt, führt das zu einem sehr starken Stromabfall und damit zu hohen Spannungen. Daher kann beim Ausschalten eines Stromkreises, an dem Spulen angeschlossen sind, die Induktionsspannung die angelegte Spannung um ein Vielfaches übertreffen.