Bewegung von Ladungsträgern im Magnetfeld

Ein geladenes Teilchen zu betrachten, das reglos in einem Magnetfeld sitzt, ist ziemlich langweilig. Am Zustand des Teilchens ändert sich nämlich nichts. Es bleibt einfach, so wie es ist, an dem Ort, an dem es ruht. Bringen wir jedoch ein wenig Bewegung ins Spiel, wird es sofort spannender.

Massenbestimmung

Die erste Errungenschaft, zu der uns ein bewegter Ladungsträger verhilft, ist die Bestimmung seiner Masse. Folgendes musst du dafür wissen:

Vorkenntnisse

​$$F_L = q \cdot v \cdot B$$​​

​$$F_Z = \dfrac {m \cdot v^2}{r}$$

​​​In diesem Bild kannst du sehen, dass die Lorentzkraft in den Kreismittelpunkt zeigt. Dabei ist es egal, wo sich der Ladungsträger, in diesem Fall ein Elektron, befindet. Sie lenkt es auf eine Kreisbahn mit dem Radius r.​

Damit übernimmt sie die Rolle der Zentripetalkraft; wir können die beiden Kräfte gleichsetzen. 

$$F_L = q \cdot v \cdot B = \dfrac {m \cdot v^2}{r} = F_Z$$

Wenn wir nun nach der Masse auflösen...

$$m = \dfrac {q \cdot r \cdot B}{v}$$​​​​

​​

...müssen wir nur noch die nötigen Größen messen und schon können wir die Masse bestimmen!

Spezifische Ladung von Elektronen

Das Fadenstrahlrohr ist ein Experiment, mit dem sich die spezifische Ladung $$\dfrac {e}{m_e}a$$​ von Elektronen bestimmen lässt.

Versuchsaufbau

1. Elektronenkanone

Durch ein Paar von Helmholtz-Spulen wird ein nahezu homogenes Magnetfeld erzeugt. Aus einer Elektronenkanone werden jetzt senkrecht zu den Feldlinien Elektronen geschossen. Die Elektronen werden von der Lorentzkraft auf eine Kreisbahn gelenkt. Deren Radius ist abhängig von der Feldstärke des Magnetfeldes und der Geschwindigkeit der Elektronen. Letztere lässt sich mit folgender Formel berechnen:

​$$v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U_a}{m_e}}$$​

Dabei steht $$U_a$$ für die Beschleunigungsspannung.​

Wenn wir dies in die bei der Massenbestimmung hergeleitete Formel einsetzen, können wir durch einige Umformungen die spezifische Ladung herleiten:

$$\begin{align} m_e &= \dfrac {e \cdot r \cdot B}{v} = \dfrac{e \cdot r \cdot B}{\sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U_a }{m_e}}} \\ m_e^2 &= \dfrac{e^2 \cdot r^2 \cdot B^2 \cdot m_e}{2 \cdot e \cdot U_a} \\ m_e &= \dfrac{e \cdot r^2 \cdot B^2}{2 \cdot U_a} \\ \Rightarrow \dfrac{e}{m_e} &= \dfrac{2 \cdot U_a}{r^2 \cdot B^2} \end{align}$$​​

Die nötigen Größen $$U_a, B$$ und $$r$$​ werden mithilfe von Experimenten herausgefunden. Wenn du die spezifische Ladung berechnet hast, kannst du mit der schon bekannten Elementarladung $$e$$​ auch die Elektronenmasse bestimmen.

Schraubenbahn

Wenn das Elektron nicht senkrecht, also nicht in einem Winkel von 90°, zu den Feldlinien in ein Magnetfeld eintritt, wird es sich auf einer Schraubenbahn bewegen. Die Lorentzkraft hat hier wieder ihre Finger im Spiel.

Der Geschwindigkeitsvektor des Elektrons kann in zwei Komponenten aufgeteilt werden: in einen Vektor parallel zu den Feldlinien und in einen senkrecht dazu. Auf den parallelen Vektor wirkt keine Lorentzkraft. Auf den senkrechten Vektor wirkt die folgende Kraft:

​$$F_L = q \cdot \vec{v_\perp} \cdot B$$

Um nun herauszufinden, wie dieser Anteil auf den ursprünglichen Vektor $$\vec{v}$$​ wirkt, machen wir eine trigonometrische Überlegung:

​$$\begin{align} sin(\alpha) &= \dfrac {\vec{v_\perp}}{\vec{v}} \\\Rightarrow \vec{v_\perp} &= \vec{v} \cdot sin(\alpha) \end{align}$$​

Somit wissen wir, welche Lorentzkraft auf ein Elektron wirkt, das um einen Winkel $$\alpha$$​ gegenüber den Feldlinien verschoben in das Magnetfeld eintritt.

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Kreisbeschleuniger

Im Gegensatz zu Linearbeschleunigern, bei denen die geladenen Teilchen auf einer geraden Linie beschleunigt werden, sind Kreisbeschleuniger um ein Wesentliches platzsparender.

Zyklotron

Im Zyklotron wirkt sowohl ein elektrisches als auch ein magnetisches Feld. Das elektrische Feld entsteht durch das Anlegen einer Wechselspannung zwischen zwei hohlen, halbkreisförmigen Elektroden. Es sorgt dafür, dass das Teilchen im Spalt zwischen den beiden Elektroden beschleunigt wird. Das Magnetfeld wird durch zwei Elektromagnete erzeugt, die so angeordnet werden, dass die Feldlinien senkrecht zu der Ebene zeigen, in der die Elektroden liegen. Diese Anordnung ist wichtig, da die Teilchen nur so durch die Lorentzkraft auf eine Kreisbahn gelenkt werden.

1. Elektrode 1 2. Elektrode 2 3. Seitenansicht 4. Elektrode 2 5. Elektromagnet 6. Elektrode 1 7. Teilchenbahn 8. Elektromagnet 9. Ablenkelektrode 10. Zielobjekt

Durch die Beschleunigung im Spalt erhöht sich die Geschwindigkeit des Teilchens. Deshalb wird der Radius nach jeder Durchquerung größer: Das Teilchen bewegt sich in einer Spirale, bis es auf ein Zielobjekt geschossen wird.

Synchrotron

In einem Linearbeschleuniger bereits auf hohe Geschwindigkeiten gebrachte Teilchen werden in ein Synchrotron geleitet. Im Synchrotron werden die Teilchen auf eine Kreisbahn gelenkt, die sie immer wieder durchlaufen. Im Gegensatz zum Zyklotron, bleibt der Radius jedoch gleich. Um dies zu bewerkstelligen, muss synchron zur steigenden Geschwindigkeit die Stärke des Magnetfelds erhöht werden. In der Skizze kannst du sehen, dass das Teilchen dafür abwechselnd eine Beschleunigungsstrecke und einen Abschnitt mit einem Führungsmagnet durchläuft. Durch das wiederholte Passieren der E-Felder werden die Teilchen fast auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt.

1. Beschleunigungsstrecke 2. Führungsmagnet 3. Linearbeschleuniger