Elastizität und Hooke'sches Gesetz

Elastische und plastische Verformung

Wenn auf einen Körper eine Kraft wirkt, so wirkt sich diese in jedem Fall auch auf den Körper aus. Dies ist unabhängig davon der Fall, ob der Körper sich durch die Krafteinwirkung beschleunigt, oder in seiner Ruhelage bzw. seinem Bewegungszustand bleibt. 

Kräfte verformen Körper. Je nachdem, wie weich oder hart ein Körper ist, wie sein innerer Aufbau ist und abhängig davon, wie stark die einwirkende Kraft ist, wird der Körper dann mehr oder weniger stark verformt. 

Das kennst Du sicherlich aus Deiner Alltagserfahrung: Eine Handvoll Sand lässt sich ganz einfach mit der Hand verformen, jedoch ist das bei einem Stein nicht möglich. 

In jedem Fall treten im Körper Rückstellkräfte auf, welche der Krafteinwirkung auf den Körper entgegenwirken. Der Körper "möchte" lieber in seiner Ausgangslage bleiben und diese Rückstellkräfte tragen dazu bei, genau das zu erreichen.

In der Physik unterscheidet man nun zwei Fälle: die elastische Verformung und die plastische Verformung. 

Elastische Verformung

Eine elastische Verformung tritt immer dann auf, wenn der Körper nach der Krafteinwirkung zurück in seine ursprüngliche Form gelangt, sich also die Verformungen im Körper alle wieder komplett zurückbilden.  

Elastische Verformungen gibt es beispielsweise bei Federn, die gespannt werden, wenn man ein nicht allzu schweres Gewicht daran hängt. Ein weiteres Beispiel, bei dem elastische Verformungen eine große Rolle spielen, sind Gummibänder. 

Auch sind elastische Verformungen bei Stößen zwischen beispielsweise Billardkugeln relevant: Die Kraft der einen Kugel wird auf die andere übertragen und die Verformungen der Kugeln bilden sich komplett zurück.

Plastische Verformung

Bei der plastischen Verformung ist es allerdings nicht der Fall, dass sich die Verformungen alle zurückbilden. Bei der plastischen Verformung wird mit einer viel größeren Kraft auf einen Körper eingewirkt, als es bei der elastischen Verformung der Fall ist. 

Dadurch treten Verformungen auf, die so groß sind, dass sich der Körper nicht mehr in seine ehemalige Form zurückbilden kann. 

Zu einer plastischen Verformung kommt es beispielsweise bei einem Autounfall- die Fahrzeuge haben jede Menge Dellen und die einzelnen Teile sind zerbeult und verformt. Die Krafteinwirkung beim Aufprall war einfach viel zu groß, als dass sich die Verformungen von alleine zurückbilden könnten. Beim Bearbeiten von Werkstoffen kommt es auch meistens zu plastischen Verformungen. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn ein Metallteil in die richtige Form gepresst wird.

Wenn nun allerdings mit noch größeren Kräften auf ein Gegenstand eingewirkt wird, als es bei der plastischen Verformung der Fall ist, dann gelangt man irgendwann über den Punkt, an dem das Material den Kräften standhalten kann. Das Resultat ist, dass der Körper bricht. 

Den Zusammenhang zwischen Kraft und Längenänderung, sowie, wann es zu plastischer und wann zu elastischer Verformung kommt, kannst Du auch dem folgenden Diagramm entnehmen:

Bis zur Proportionalitätsgrenze ist der Zusammenhang zwischen Kraft und Längenänderung direkt proportional- hier kann man das Hooke'sche Gesetz verwenden. 

Bis zur Elastizitätsgrenze kehrt das Material zu seiner ursprünglichen Form zurück, nachdem es verformt wurde. Wendet man allerdings eine Kraft an, welche größer ist, so verhält sich das Material plastisch.

Hooke'sches Gesetz

Für die elastische Verformung kann man die Längenänderung eines Materials während einer Krafteinwirkung berechnen. Dazu ist zu beachten, dass die Kraft nicht zu groß sein darf. Für diese Berechnung kann man das Hooke'sche Gesetz verwenden:

​$$F=D\cdot \Delta L$$

​​

Hierbei ist $$F$$ die Kraft, welche auf den Körper wird, $$D$$ die stoffspezifische Proportionalitätskonstante (welche bei Federn auch als Federkonstante bezeichnet wird) und $$\Delta L$$ ist die Längenänderung entlang der Richtung, in welche die Kraft auf den Körper wirkt. 

Im Zusammenhang mit dem Hooke'schen Gesetz kann man auch die Energie, welche für die Verformung notwendig ist, berechnen. Diese ist gegeben mit der Spannenergie $$E_{\text{Spann}}$$​:

​$$E_{\text{Spann}}=\frac{1}{2}\cdot D\cdot (\Delta L)^2$$​​

Beispiel

Wie weit wird eine Feder verformt, wenn eine Kraft von $$F=4{,}5 \ N$$ auf die Feder wirkt, welche eine Federkonstante von $$D=0{,}5 \ \frac{N}{cm}$$ besitzt? Welche Energiemenge ist dafür nötig?

Gegeben: $$F=4{,}5 \ N; \qquad D=0{,}5 \ \frac{N}{cm}$$

Gesucht: $$\Delta L; \qquad E_{\text{Spann}}$$

Um die Längenänderung zu berechnen, muss man Hooke'sches Gesetz umstellen:

$$\begin{aligned}F&=D\cdot \Delta L\qquad |\div D\\\Delta L&=\dfrac{F}{D}\end{aligned}$$​​

Nun müssen die gegebenen Werte eingesetzt werden:

$$\underline{\Delta L}=\dfrac{F}{D}=\dfrac{4{,}5 \ N}{0{,}5 \ \frac{N}{cm}}=\underline{9 \ cm}$$​​

Die Spannenergie kann nun auch berechnet werden:

​$$\underline{E_{\text{Spann}}}=\frac{1}{2}\cdot D\cdot (\Delta L)^2=\frac{1}{2}\cdot 50 \ \frac{N}{m}\cdot (0{,}09 \ m)^2=\underline{0{,}2025 \ Nm }$$​​

Scherung und Torsion

Wenn man eine Kraft tangential an einem Ende des Körpers wirken lässt, dann kommt es zur Scherung des Körpers. Die oberen Ebenen, welche nahe der Krafteinwirkung stehen, erfahren eine starke Kraft und werden deshalb weiter aus ihrer Ruhelage ausgelenkt, als es bei Ebenen der Fall ist, welche weiter weg vom Bereich der Krafteinwirkung sind. Scherung wird in folgendem Bild dargestellt:

Die Torsion ist ein weiterer Spezialfall der Verformung eines Körpers. Hierbei setzt eine Kraft an, welche eine der oberen Querschnittsflächen des Objektes relativ zu weiter unten gelegenen Querschnittsflächen verdreht. (Die Enden des Körpers werden verdrillt.). Die oberen Bereiche sind dann relativ zu den unteren um einen bestimmten Winkel $$\phi$$​ verdreht. Die Torsion ist in folgendem Bild dargestellt: