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Erklärvideo

Lehrperson: David Schaurecker

Zusammenfassung

Newtonverfahren: Definition & Anwendung

Das Newtonverfahren ist ein Verfahren zur Annäherung von Nullstellen einer Funktion. Sollen die Nullstellen einer Funktion berechnet werden, für welche die exakte Berechnung schwierig ist, kann eine numerische Approximation verwendet werden. 


Definition

Die Idee des Newtonverfahrens ist es, mittels Tangenten an den Funktionsgraphen immer bessere Näherungen der Nullstellen zu erhalten. 

Es wird zunächst ein Näherungswert x0 x_0\ x0​ ​ der gesuchten Nullstelle x′x'x′​ bestimmt oder geraten. Basierend auf diesem Wert werden nun immer wieder dieselben Schritte iterativ durchlaufen. Im ersten Schritt gilt i=0i=0i=0​:


ITERATION

1.

Die Tangente TiT_iTi​​ am Punkt Pi(xi|f(xi))P_i\left(x_i\middle| f\left(x_i\right)\right)Pi​(xi​∣f(xi​))​ an den Graphen von fff​ berechnen. 

2.

Berechnen des Schnittpunkts xI+1x_{I+1}xI+1​​ der Tangente TiT_iTi​​ mit der x-Achse. 

3.

Addiere 111​ zu iii​ (neues iii​ = altes i+1i+1i+1​) und beginne wieder bei Schritt 1.   


Grundsätzlich kann beliebig oft iteriert werden. Je öfter, desto genauer wird die Lösung. 


Achtung: Das Newtonverfahren konvergiert nicht immer gegen die Nullstelle. Die Wahl des ersten Näherungswerts x0x_0x0​​ ist essenziell, um die Konvergenz garantieren zu können. 


FORMEL

Die folgende Formel gibt eine rekursive Definition der Folge von Näherungen, die durch das Newtonverfahren generiert werden:

xn+1=xn−f(xn)f′(xn),  n∊Nx_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^\prime\left(x_n\right)},\ \ n∊Nxn+1​=xn​−f′(xn​)f(xn​)​,  n∊N​​

Mit f′(x)f'(x)f′(x)​ wird die Ableitung von fff​ bei xxx​ bezeichnet. 

                                                      

Beispiel – Es gilt f(x)=x2f\left(x\right)=x^2f(x)=x2​. Wende das Newton Verfahren an, um die Nullstelle dieser Funktion zu finden. 


Wir wählen x0=1x_0=1x0​=1​ und berechnen dann einige Glieder der Folge der Approximationen basierend auf der Formel xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^\prime\left(x_n\right)}xn+1​=xn​−f′(xn​)f(xn​)​​

Mathematik; Gleichungen und Funktionen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Newtonverfahren: Definition & Anwendung


Explizit ist die Folge in diesem Beispiel durch die folgende Formel xi=12i x_i=\frac{1}{2^i\ }xi​=2i 1​​ definiert, welche zu 0 konvergiert. Damit liefert das Newtonverfahren tatsächlich die richtige Nullstelle x=0x=0x=0​ der Funktion f(x)=x2f\left(x\right)=x^2f(x)=x2​. 



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Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Teil 1

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

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Newtonverfahren: Definition & Anwendung

Teil 2

Newtonverfahren: Definition & Anwendung

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wann konvergiert das Newton Verfahren?

Das Newtonverfahren konvergiert nicht immer gegen die Nullstelle. Die Wahl des ersten Näherungswerts x_0 ist essenziell, um die Konvergenz garantieren zu können. Der erste Näherungswert muss schon ausreichend nahe an der Nullstelle liegen.

Wofür braucht man das Newton-Verfahren?

Das Newtonverfahren ist ein Verfahren zur Annäherung von Nullstellen einer Funktion. Sollen die Nullstellen einer Funktion berechnet werden, für welche die exakte Berechnung schwierig ist, kann eine numerische Approximation verwendet werden.

Wie geht das Newton Verfahren?

Die Idee des Newtonverfahrens ist es, mittels Tangenten an den Funktionsgraphen immer bessere Näherungen der Nullstellen zu erhalten. Es wird zunächst ein Näherungswert x_0 der gesuchten Nullstelle x' bestimmt oder geraten. Basierend auf diesem Wert werden nun immer wieder dieselben Schritte iterativ durchlaufen. Im ersten Schritt gilt i=0.

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