Das Newtonverfahren ist ein Verfahren zur Annäherung von Nullstellen einer Funktion. Sollen die Nullstellen einer Funktion berechnet werden, für welche die exakte Berechnung schwierig ist, kann eine numerische Approximation verwendet werden.
Definition
Die Idee des Newtonverfahrens ist es, mittels Tangenten an den Funktionsgraphen immer bessere Näherungen der Nullstellen zu erhalten.
Es wird zunächst ein Näherungswertx0 der gesuchten Nullstellex′bestimmt oder geraten. Basierend auf diesem Wert werden nun immer wieder dieselben Schritte iterativ durchlaufen. Im ersten Schritt gilti=0:
ITERATION
1.
Die TangenteTiam PunktPi(xi∣f(xi))an den Graphen vonfberechnen.
2.
Berechnen des SchnittpunktsxI+1der TangenteTimit der x-Achse.
3.
Addiere1zui(neuesi= altesi+1) und beginne wieder bei Schritt 1.
Grundsätzlich kann beliebig oft iteriert werden. Je öfter, desto genauer wird die Lösung.
Achtung: Das Newtonverfahren konvergiert nicht immer gegen die Nullstelle. Die Wahl des ersten Näherungswertsx0ist essenziell, um die Konvergenz garantieren zu können.
FORMEL
Die folgende Formel gibt eine rekursive Definition der Folge von Näherungen, die durch das Newtonverfahren generiert werden:
xn+1=xn−f′(xn)f(xn),n∊N
Mitf′(x)wird die Ableitung vonfbeixbezeichnet.
Beispiel – Es giltf(x)=x2. Wende das Newton Verfahren an, um die Nullstelle dieser Funktion zu finden.
Wir wählenx0=1und berechnen dann einige Glieder der Folge der Approximationen basierend auf der Formelxn+1=xn−f′(xn)f(xn)
Explizit ist die Folge in diesem Beispiel durch die folgende Formelxi=2i1definiert, welche zu 0 konvergiert. Damit liefert das Newtonverfahren tatsächlich die richtige Nullstellex=0der Funktionf(x)=x2.
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Das Newtonverfahren konvergiert nicht immer gegen die Nullstelle. Die Wahl des ersten Näherungswerts x_0 ist essenziell, um die Konvergenz garantieren zu können. Der erste Näherungswert muss schon ausreichend nahe an der Nullstelle liegen.
Wofür braucht man das Newton-Verfahren?
Das Newtonverfahren ist ein Verfahren zur Annäherung von Nullstellen einer Funktion. Sollen die Nullstellen einer Funktion berechnet werden, für welche die exakte Berechnung schwierig ist, kann eine numerische Approximation verwendet werden.
Wie geht das Newton Verfahren?
Die Idee des Newtonverfahrens ist es, mittels Tangenten an den Funktionsgraphen immer bessere Näherungen der Nullstellen zu erhalten. Es wird zunächst ein Näherungswert x_0 der gesuchten Nullstelle x' bestimmt oder geraten. Basierend auf diesem Wert werden nun immer wieder dieselben Schritte iterativ durchlaufen. Im ersten Schritt gilt i=0.
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