Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

Definition

Bei uneigentlichen Integralen betrachtet man Flächen an waagerechten oder senkrechten Asymptoten. Flächeninhalte an solchen Asymptoten können sowohl unendlich groß, als auch begrenzt sein. Das ist unabhängig davon, ob die Fläche selbst in positive bzw. negative $$x$$​- oder $$y$$​-Richtung begrenzt ist. 

Berechnung

Die Fläche an der $$x$$​- bzw. $$y$$​-Achse als Asymptote lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

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VORGEHEN

Beispiel

Bestimme die Fläche zwischen der Funktion $$f\left(x\right)$$ und der $$x$$-Achse im Intervall von $$x=-\infty$$ bis $$x=0$$​ für die Funktion:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{2}e^x$$​​

Einsetzen:

$$\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}{\int_{a}^{0}{{\frac{1}{2}e}^xdx}}$$​​

Funktion integrieren:

$$=\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}{\left[\frac{1}{2}e^x\right]_a^0}\\=\lim\limits_{a\rightarrow-\infty}\frac{1}{2}e^0-\frac{1}{2}e^a$$​​

Grenzwert bilden:

$$\underline{=\frac{1}{2}}$$​​