Home

Mathematik

Integral berechnen

Volumenberechnung von Rotationskörpern

Volumenberechnung von Rotationskörpern

Lektion auswählen

Mein Buch

Select an option

Erklärvideo

Loading...
Lehrperson: Emma

Zusammenfassung

Volumenberechnung von Rotationskörpern

Definition

Rotiert man einen Graphen um die xx-Achse, so entsteht ein Rotationskörper. Möchte man das Volumen dieses Rotationskörpers bestimmen, so lässt sich dieses mithilfe eines Integrals berechnen.

Mathematik; Integration; 11.-12. Klasse Gymnasium; Volumenberechnung von Rotationskörpern


Formel

Das Volumen des Rotationskörpers lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

V=πabf(x)2dxV=\pi\cdot \int^b_a{f\left(x\right)}^2 dx​​


Hinweis: In dieser Formel ist, im Gegensatz zu anderen Integralen, die du bisher kennengelernt hast, π\pi enthalten. Dies lässt sich in einer bildlichen Vorstellung damit begründen, dass durch die Rotation eines Punktes um die x-Achse ein Kreis entsteht. Die Fläche eines Kreises lautet πr2\pi\cdot r². Der Teil (f(x))2\left(f\left(x\right)\right)^2​ des Integrals ist analog zu r2r^2 bei der Flächenberechnung des Kreises. f(x)f(x) ist somit bildlich gesehen der Radius des Kreises, der durch die Rotation eines Punktes an der Stelle xx um die xx-Achse entsteht. Durch die Integration in den Grenzen aa und bb macht man schließlich in der bildlichen Anschauung den Schritt von der Flächenberechnung von durch Rotation entstandenen Kreisen zur Volumenberechnung eines Rotationskörpers.


Beispiel

Berechne das Volumen des Rotationskörpers unter der Funktion f(x)=x2+1f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1} innerhalb der Grenzen x=1x=1 und x=3x=3.


Einsetzen:

V=π13(x2+1)2dx=π13x2+1 dxV=\pi\cdot\int_{1}^{3}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2dx}=\pi\cdot\int_{1}^{3}{x^2+1\ dx}​​


Integral berechnen:

=π[13x3+x]13=π(273+3)π(13+1)=323 π=\pi\cdot\left[\frac{1}{3}x^3+x\right]_1^3=\pi\cdot\left(\frac{27}{3}+3\right)-\pi\cdot\left(\frac{1}{3}+1\right)=\underline{\frac{32}{3}\ \pi}​​




Erstelle ein Konto, um die Zusammenfassung zu lesen.

Übungen

Erstelle ein Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wieso ist ein pi in der Formel für Volumina von Rotationskörpern enthalten?

Wie nennt man eine Figur, die entsteht, wenn man einen Funktionsgraphen um eine Achse rotiert?

Mit welcher mathematischen Methode kann man das Volumen eines Rotationskörpers berechnen?

Beta

Ich bin Vulpy, Dein AI Lern-Buddy! Lass uns zusammen lernen.