Rotiert man einen Graphen um diex-Achse, so entsteht ein Rotationskörper. Möchte man das Volumen dieses Rotationskörpers bestimmen, so lässt sich dieses mithilfe eines Integrals berechnen.
Formel
Das Volumen des Rotationskörpers lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:
V=π⋅∫abf(x)2dx
Hinweis: In dieser Formel ist, im Gegensatz zu anderen Integralen, die du bisher kennengelernt hast,πenthalten. Dies lässt sich in einer bildlichen Vorstellung damit begründen, dass durch die Rotation eines Punktes um die x-Achse ein Kreis entsteht. Die Fläche eines Kreises lautetπ⋅r2. Der Teil (f(x))2 des Integrals ist analog zur2bei der Flächenberechnung des Kreises.f(x)ist somit bildlich gesehen der Radius des Kreises, der durch die Rotation eines Punktes an der Stellexum diex-Achse entsteht. Durch die Integration in den Grenzenaundbmacht man schließlich in der bildlichen Anschauung den Schritt von der Flächenberechnung von durch Rotation entstandenen Kreisen zur Volumenberechnung eines Rotationskörpers.
Beispiel
Berechne das Volumen des Rotationskörpers unter der Funktionf(x)=x2+1innerhalb der Grenzenx=1undx=3.
Einsetzen:
V=π⋅∫13(x2+1)2dx=π⋅∫13x2+1dx
Integral berechnen:
=π⋅[31x3+x]13=π⋅(327+3)−π⋅(31+1)=332π
Erstelle ein Konto, um die Zusammenfassung zu lesen.
Wieso ist ein pi in der Formel für Volumina von Rotationskörpern enthalten?
In der Formel für Volumina von Rotationskörpern, die aus Funktionsgraphen entstehen, ist ein pi enthalten, da bildlich gesprochen Punkte um eine Achse rotieren und dadurch Kreise bilden. Das pi wird somit quasi benötigt, um diese Kreisflächen mathematisch auszudrücken.
Wie nennt man eine Figur, die entsteht, wenn man einen Funktionsgraphen um eine Achse rotiert?
Eine solche Figur nennt man Rotationskörper.
Mit welcher mathematischen Methode kann man das Volumen eines Rotationskörpers berechnen?
Um das Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen, verwendet man eine Integration.
Beta
Ich bin Vulpy, Dein AI Lern-Buddy! Lass uns zusammen lernen.