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Zweiseitigen Signifikanztest durchführen: Vorgehen

Einseitigen Signifikanztest durchführen: Vorgehen

Fehler 1. und 2. Art: Definition & Beispiel

Bayes’sche Statistik: Definition & Beispiel

Zufallsgröße

Erwartungswert, Mittelwert & Standardabweichung

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zuvallsvariablen

Bernoulliexperiment und -kette

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Normalverteilung: Funktionen & Darstellung

Satz von Moivre-Laplace: Definition & Anwendung

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Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften

Mengenlehre: Darstellung, Eigenschaften & Venn-Diagramm

Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Baumdiagramm zeichnen & Wahrscheinlichkeit bestimmen

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

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Folgen

Arithmetische und geometrische Folgen

Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert

Grenzwerte einer Funktion berechnen

Integral berechnen

Herleitung der Integralrechnung

Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Numerische Integration: Methoden

Extrem- und Wendepunkte

Polynomfunktion bestimmen

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Monotonie: Definition und Vorgehen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Funktionenscharen: Definition & Beispiele

Ableiten

Differentialrechnung: Definition & Vorgehen

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Ableitung trigonometrischer Funktionen

Ableitung Exponentialfunktion & Ableitungsregeln

Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Gleichungen und Funktionen

Exponentialgleichungen lösen

Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Logarithmen: Definition & Logarithmusgesetze

Logarithmusgleichungen lösen

Wachstums- und Zerfallsprozesse berechnen

Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Zusammengesetzte Funktionen: Ableitungen & Verkettungen

Grenzwerte & Asymptoten bestimmen

Erklärvideo

Lehrperson: Emma

Zusammenfassung

Substitutionsmethode verstehen und anwenden

Die Substitutionsmethode ist anwendbar, wenn das Integral aus zwei verschachtelten Funktionen besteht. Die Substitutionsmethode wirkt wie eine Umkehrung der Kettenregel vom Ableiten.

Formel

$\int_{a}^{b}{f\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)dx}=\int_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)dz$

VORGEHEN

1.	Ersetze einen Teil des Terms als $z$ . Tipps: Bei Brüchen ersetzt man oft den Nennerterm. Bei Klammern und Wurzeln ersetzt man oft den Term in der Klammer bzw. in der Wurzel. Bei Potenzen ersetzt man oft den Term im Exponenten.
2.	Bilde die „Ableitung“ von $z$ nach $x$ : $\frac{dz}{dx}=\ \ldots$
3.	Löse den Term nach $dx$ auf: $dx=\ \ldots\ dz$
4.	Integral neu aufstellen: Ersetze den gewählten Term mit $z$ Ersetze $dx$ im Integral mit dem Term aus Schritt 3. Setze die Grenzen in den Term von $z$ ein. Tipp: Es sollten keine $x$ * mehr im Integral vorkommen.*
5.	Integriere nach $z$ .

Tipp: Für unbestimmte Integrale: Ersetze das $z$ nach der Integration wieder mit dem Term für $z$ .

Beispiel 1 – Bestimmtes Integral mit Wurzel

$\int_{2}^{3}{\sqrt{3x^2+2x-1}\cdot\left(3x+1\right)\ dx}=$

Substitution (Term in der Wurzel):

$z=3x^2+2x-1$ 

Ableitung nach $x:$ 

$\frac{dz}{dx}=6x+2$ 

Umformen:

$dx=\frac{dz}{6x+2}$ 

Einsetzen, Grenzen anpassen und vereinfachen:

$\int_{3\cdot2^2+2\cdot2-1}^{3\cdot3^2+2\cdot3-1}{\sqrt z\cdot\left(3x+1\right)\ \frac{dz}{6x+2}}=\int_{15}^{32}{\sqrt z\cdot\frac{1}{2}\ dz}$ 

Integration nach $z$ :

$=\frac{1}{2}\ \int_{15}^{32}{\ z^\frac{1}{2}\ dz}=\frac{1}{2}\ \left[\frac{2}{3}z^\frac{3}{2}\right]_{15}^{32}$ 

Ausrechnen:

$=\frac{1}{2}\ \left(\frac{2}{3}\cdot{32}^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\cdot{15}^\frac{3}{2}\right)\approx\underline{40,97}$ 

Beispiel 2 – Unbestimmtes Integral mit Bruch und Wurzel

$\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}$ 

Substitution (Term in der Wurzel):

$z=x^2+1$ 

Ableitung:

$\frac{dz}{dx}=2x$ 

Umformen:

$dx=\frac{dz}{2x}$ 

Einsetzen:

$\int{\frac{2x}{\sqrt z}\cdot\frac{dz}{2x}}=\int{\frac{1}{\sqrt z}\ dz}$ 

Integration nach $z$ :

$=\int{z^{-\frac{1}{2}}\ dz}=2z^\frac{1}{2}+c$ 

Ersetzen von $z$ :

$=2\left(x^2+1\right)^\frac{1}{2}+c=2\sqrt{x^2+1}+c$ 

Es gilt also:

$\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}=\underline{2\sqrt{x^2+1}+c}$ 

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Teil 2

Partielle Integration: Anwendung & Formel

Teil 3

Herleitung der Integralrechnung

Abkürzung

Teil 4

Substitutionsmethode verstehen und anwenden

Finaler Test

Erstelle ein Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welchen Teil des Terms ersetze ich bei der Substitutionsmethode?

Bei Brüchen ersetzt man oft den Nennerterm. Bei Klammern und Wurzeln ersetzt man oft den Term in der Klammer bzw. in der Wurzel. Bei Potenzen ersetzt man oft den Term im Exponenten.

Was ist die Formel der Substitutionsmethode?

∫_a^b f(g(x))∙g'(x)dx =∫_g(a)^g(b) f(z)dz

Wann wende ich die Substitutionsmethode an?

Du kannst die Substitutionsmethode anwenden, wenn das Integral aus zwei verschachtelten Funktionen besteht.

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Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften

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Folgen

Arithmetische und geometrische Folgen

Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert

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Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

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Extrem- und Wendepunkte

Polynomfunktion bestimmen

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

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Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

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Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

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Ableitung trigonometrischer Funktionen

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Zusammengesetzte Funktionen: Ableitungen & Verkettungen

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Zusammenfassung

Substitutionsmethode verstehen und anwenden

Die Substitutionsmethode ist anwendbar, wenn das Integral aus zwei verschachtelten Funktionen besteht. Die Substitutionsmethode wirkt wie eine Umkehrung der Kettenregel vom Ableiten.

Formel

$\int_{a}^{b}{f\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)dx}=\int_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)dz$

VORGEHEN

1.	Ersetze einen Teil des Terms als $z$ . Tipps: Bei Brüchen ersetzt man oft den Nennerterm. Bei Klammern und Wurzeln ersetzt man oft den Term in der Klammer bzw. in der Wurzel. Bei Potenzen ersetzt man oft den Term im Exponenten.
2.	Bilde die „Ableitung“ von $z$ nach $x$ : $\frac{dz}{dx}=\ \ldots$
3.	Löse den Term nach $dx$ auf: $dx=\ \ldots\ dz$
4.	Integral neu aufstellen: Ersetze den gewählten Term mit $z$ Ersetze $dx$ im Integral mit dem Term aus Schritt 3. Setze die Grenzen in den Term von $z$ ein. Tipp: Es sollten keine $x$ * mehr im Integral vorkommen.*
5.	Integriere nach $z$ .

Tipp: Für unbestimmte Integrale: Ersetze das $z$ nach der Integration wieder mit dem Term für $z$ .

Beispiel 1 – Bestimmtes Integral mit Wurzel

$\int_{2}^{3}{\sqrt{3x^2+2x-1}\cdot\left(3x+1\right)\ dx}=$

Substitution (Term in der Wurzel):

$z=3x^2+2x-1$ 

Ableitung nach $x:$ 

$\frac{dz}{dx}=6x+2$ 

Umformen:

$dx=\frac{dz}{6x+2}$ 

Einsetzen, Grenzen anpassen und vereinfachen:

$\int_{3\cdot2^2+2\cdot2-1}^{3\cdot3^2+2\cdot3-1}{\sqrt z\cdot\left(3x+1\right)\ \frac{dz}{6x+2}}=\int_{15}^{32}{\sqrt z\cdot\frac{1}{2}\ dz}$ 

Integration nach $z$ :

$=\frac{1}{2}\ \int_{15}^{32}{\ z^\frac{1}{2}\ dz}=\frac{1}{2}\ \left[\frac{2}{3}z^\frac{3}{2}\right]_{15}^{32}$ 

Ausrechnen:

$=\frac{1}{2}\ \left(\frac{2}{3}\cdot{32}^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\cdot{15}^\frac{3}{2}\right)\approx\underline{40,97}$ 

Beispiel 2 – Unbestimmtes Integral mit Bruch und Wurzel

$\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}$ 

Substitution (Term in der Wurzel):

$z=x^2+1$ 

Ableitung:

$\frac{dz}{dx}=2x$ 

Umformen:

$dx=\frac{dz}{2x}$ 

Einsetzen:

$\int{\frac{2x}{\sqrt z}\cdot\frac{dz}{2x}}=\int{\frac{1}{\sqrt z}\ dz}$ 

Integration nach $z$ :

$=\int{z^{-\frac{1}{2}}\ dz}=2z^\frac{1}{2}+c$ 

Ersetzen von $z$ :

$=2\left(x^2+1\right)^\frac{1}{2}+c=2\sqrt{x^2+1}+c$ 

Es gilt also:

$\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}=\underline{2\sqrt{x^2+1}+c}$ 

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Teil 2

Partielle Integration: Anwendung & Formel

Teil 3

Herleitung der Integralrechnung

Abkürzung

Teil 4

Substitutionsmethode verstehen und anwenden

Finaler Test

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welchen Teil des Terms ersetze ich bei der Substitutionsmethode?

Bei Brüchen ersetzt man oft den Nennerterm. Bei Klammern und Wurzeln ersetzt man oft den Term in der Klammer bzw. in der Wurzel. Bei Potenzen ersetzt man oft den Term im Exponenten.

Was ist die Formel der Substitutionsmethode?

∫_a^b f(g(x))∙g'(x)dx =∫_g(a)^g(b) f(z)dz

Wann wende ich die Substitutionsmethode an?

Du kannst die Substitutionsmethode anwenden, wenn das Integral aus zwei verschachtelten Funktionen besteht.