Substitutionsmethode verstehen und anwenden

Die Substitutionsmethode ist anwendbar, wenn das Integral aus zwei verschachtelten Funktionen besteht. Die Substitutionsmethode wirkt wie eine Umkehrung der Kettenregel vom Ableiten.

Formel

$$\int_{a}^{b}{f\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)dx}=\int_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)dz$$​​

VORGEHEN

Tipp: Für unbestimmte Integrale: Ersetze das $$z$$​ nach der Integration wieder mit dem Term für $$z$$​.

Beispiel 1 – Bestimmtes Integral mit Wurzel

$$\int_{2}^{3}{\sqrt{3x^2+2x-1}\cdot\left(3x+1\right)\ dx}=$$​

Substitution (Term in der Wurzel):

$$z=3x^2+2x-1$$​​

Ableitung nach $$x:$$​

$$\frac{dz}{dx}=6x+2$$​​

Umformen:

$$dx=\frac{dz}{6x+2}$$​​

Einsetzen, Grenzen anpassen und vereinfachen:

$$\int_{3\cdot2^2+2\cdot2-1}^{3\cdot3^2+2\cdot3-1}{\sqrt z\cdot\left(3x+1\right)\ \frac{dz}{6x+2}}=\int_{15}^{32}{\sqrt z\cdot\frac{1}{2}\ dz}$$​​

Integration nach $$z$$​:

$$=\frac{1}{2}\ \int_{15}^{32}{\ z^\frac{1}{2}\ dz}=\frac{1}{2}\ \left[\frac{2}{3}z^\frac{3}{2}\right]_{15}^{32}$$​​

Ausrechnen:

$$=\frac{1}{2}\ \left(\frac{2}{3}\cdot{32}^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\cdot{15}^\frac{3}{2}\right)\approx\underline{40,97}$$​​

Beispiel 2 – Unbestimmtes Integral mit Bruch und Wurzel

$$\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}$$​​

Substitution (Term in der Wurzel):

$$z=x^2+1$$​​

Ableitung:

$$\frac{dz}{dx}=2x$$​​

Umformen:

$$dx=\frac{dz}{2x}$$​​

Einsetzen:

$$\int{\frac{2x}{\sqrt z}\cdot\frac{dz}{2x}}=\int{\frac{1}{\sqrt z}\ dz}$$​​

Integration nach $$z$$​:

$$=\int{z^{-\frac{1}{2}}\ dz}=2z^\frac{1}{2}+c$$​​

Ersetzen von $$z$$​:

$$=2\left(x^2+1\right)^\frac{1}{2}+c=2\sqrt{x^2+1}+c$$​​

Es gilt also:

$$\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}=\underline{2\sqrt{x^2+1}+c}$$​​