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Integral berechnen

Substitutionsmethode verstehen und anwenden

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Lehrperson: Emma

Zusammenfassung

Substitutionsmethode verstehen und anwenden

Die Substitutionsmethode ist anwendbar, wenn das Integral aus zwei verschachtelten Funktionen besteht. Die Substitutionsmethode wirkt wie eine Umkehrung der Kettenregel vom Ableiten.


Formel

abf(g(x))g(x)dx=g(a)g(b)f(z)dz\int_{a}^{b}{f\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)dx}=\int_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}f\left(z\right)dz​​


VORGEHEN

1.

Ersetze einen Teil des Terms als zz.

Tipps:

  • Bei Brüchen ersetzt man oft den Nennerterm.
  • Bei Klammern und Wurzeln ersetzt man oft den Term in der Klammer bzw. in der Wurzel.
  • Bei Potenzen ersetzt man oft den Term im Exponenten.

2.

Bilde die „Ableitung“ von zz nach xx:

dzdx= \frac{dz}{dx}=\ \ldots​​

3.

Löse den Term nach dxdx auf: dx=  dzdx=\ \ldots\ dz

4.

Integral neu aufstellen:

  • Ersetze den gewählten Term mit zz
  • Ersetze dxdx im Integral mit dem Term aus Schritt 3.
  • Setze die Grenzen in den Term von zz ein.

Tipp: 

Es sollten keine xx mehr im Integral vorkommen.

5.

Integriere nach zz.


Tipp: Für unbestimmte Integrale: Ersetze das zz nach der Integration wieder mit dem Term für zz.


Beispiel 1 – Bestimmtes Integral mit Wurzel

233x2+2x1(3x+1) dx=\int_{2}^{3}{\sqrt{3x^2+2x-1}\cdot\left(3x+1\right)\ dx}=


Substitution (Term in der Wurzel):

z=3x2+2x1z=3x^2+2x-1​​


Ableitung nach x:x:

dzdx=6x+2\frac{dz}{dx}=6x+2​​


Umformen:

dx=dz6x+2dx=\frac{dz}{6x+2}​​


Einsetzen, Grenzen anpassen und vereinfachen:


322+221332+231z(3x+1) dz6x+2=1532z12 dz\int_{3\cdot2^2+2\cdot2-1}^{3\cdot3^2+2\cdot3-1}{\sqrt z\cdot\left(3x+1\right)\ \frac{dz}{6x+2}}=\int_{15}^{32}{\sqrt z\cdot\frac{1}{2}\ dz}​​


Integration nach zz:

=12 1532 z12 dz=12 [23z32]1532=\frac{1}{2}\ \int_{15}^{32}{\ z^\frac{1}{2}\ dz}=\frac{1}{2}\ \left[\frac{2}{3}z^\frac{3}{2}\right]_{15}^{32}​​


Ausrechnen:

=12 (233232231532)40,97=\frac{1}{2}\ \left(\frac{2}{3}\cdot{32}^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\cdot{15}^\frac{3}{2}\right)\approx\underline{40,97}​​



Beispiel 2 – Unbestimmtes Integral mit Bruch und Wurzel


2xx2+1dx\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}​​

Substitution (Term in der Wurzel):

z=x2+1z=x^2+1​​


Ableitung:

dzdx=2x\frac{dz}{dx}=2x​​


Umformen:

dx=dz2xdx=\frac{dz}{2x}​​


Einsetzen:

2xzdz2x=1z dz\int{\frac{2x}{\sqrt z}\cdot\frac{dz}{2x}}=\int{\frac{1}{\sqrt z}\ dz}​​


Integration nach zz:

=z12 dz=2z12+c=\int{z^{-\frac{1}{2}}\ dz}=2z^\frac{1}{2}+c​​


Ersetzen von zz:

=2(x2+1)12+c=2x2+1+c=2\left(x^2+1\right)^\frac{1}{2}+c=2\sqrt{x^2+1}+c​​


Es gilt also:

2xx2+1dx=2x2+1+c\int{\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx}=\underline{2\sqrt{x^2+1}+c}​​



Mathematik; Integration; 11.-12. Klasse Gymnasium; Substitutionsmethode verstehen und anwenden

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Frequently asked questions about credits

Welchen Teil des Terms ersetze ich bei der Substitutionsmethode?

Was ist die Formel der Substitutionsmethode?

Wann wende ich die Substitutionsmethode an?

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