Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Definitionen

Stetigkeit

Sei $$f$$​ eine Funktion, die auf dem Intervall $$[a;b]$$​ gegeben ist. Dann heißt $$f$$​ „stetig“ an der Stelle $$x_0∊[a;b]$$​, wenn $$\lim\limits_{x\ \rightarrow{\ x}_0}{f(x)}$$​ existiert und $$\lim\limits_{x\ \rightarrow{\ x}_0}{f(x)}=f(x_0)$$​.

Stetigkeit ist also eine Eigenschaft, die für jeden $$x$$​-Wert definiert ist. Wenn eine Funktion an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist, heißt die Funktion als Ganzes stetig. Intuitiv kann die Stetigkeit einer Funktion als die Möglichkeit interpretiert werden, die Funktion ohne absetzen eines Stiftes zu zeichnen. Ist eine Funktion also stetig, darf sie keine Unterbrüche/Sprünge in ihrem Funktionsgraphen aufweisen. 

Differenzierbarkeit 

Hat der Differenzenquotient $$\frac{\ f\left(u+h\right)-f(u)}{h}$$​ einer Funktion $$f$$​ an der Stelle $$u$$​ einen Grenzwert, dann ist dieser Grenzwert die Ableitung von $$f$$​ bei Position $$u$$​. Weiter heißt die Funktion dann „differenzierbar“ bei $$u$$​. Ist eine Funktion an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar, dann heißt die Funktion als Ganzes differenzierbar.

Zusammenhang 

Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit. Ist also eine Funktion $$f$$​ an der Stelle $$u$$​​ differenzierbar, dann ist $$f$$​ auch bei $$u$$​ stetig. Umgekehrt folgt auch: wenn eine Funktion $$f$$​ an der Stelle $$u$$​ nicht stetig ist, ist $$f$$​ an der Stelle $$u$$​ auch nicht differenzierbar. 

Beispiel 1 – Ist die Funktion $$y=x^2$$​ mit dem folgenden Graphen stetig und differenzierbar?

Die Überprüfung des Differenzenquotienten an jeder Stelle der Funktion impliziert, dass die Funktion differenzierbar ist. Da Differenzierbarkeit wiederum Stetigkeit impliziert, ist klar, dass diese Funktion sowohl stetig als auch differenzierbar ist. 

Beispiel 2 – Ist die Funktion mit dem folgenden Graphen stetig und differenzierbar?

Da bei $$x=2$$​ ein Sprung im Funktionsgraphen ist, ist die Funktion nicht stetig (ein Sprung im Funktionsgraphen impliziert, dass an dieser Stelle der Limes nicht eindeutig definiert ist). Durch den Zusammenhang von Stetigkeit und Differenzierbarkeit folgt, dass die Funktion folglich auch nicht differenzierbar ist. 

Beispiel 3 – Ist die Funktion $$y=|x|$$​ mit dem folgenden Graphen stetig und differenzierbar?

Die Funktion kann einfach ohne das Absetzen eines Stiftes gezeichnet werden. Sie hat keine Sprünge oder Unterbrüche, daher ist die Funktion stetig. 

Jedoch ist die Funktion bei $$x=0$$​ nicht differenzierbar. Der Differenzenquotient $$\frac{\ f\left(0+h\right)-f(0)}{h}$$​ hat nämlich keinen Grenzwert. Nähert man sich von „unten“ 0 an (man setzt also für h jeweils negative Zahlen ein, die sich immer weiter 0 annähern), dann konvergiert der Differenzenquotient gegen -1. Nähert man sich jedoch von „oben“ 0 an (man setzt also für h jeweils positive Zahlen ein, die sich immer weiter 0 annähern), dann konvergiert der Differenzenquotient gegen 1. Da diese Werte nicht übereinstimmen, existiert kein Grenzwert, und die Funktion ist damit nicht differenzierbar.