Goldener Schnitt: Definition & Teilungsverhältnis

Definition

Der Goldene Schnitt ist ein Teilungsverhältnis zwischen zwei Längen. Er kommt in der Geometrie und Natur häufig vor und wird ebenso in der Bildgestaltung verwendet.

Teilungsverhältnis

Um eine Strecke im Goldenen Schnitt zu teilen, muss sich der kleinere Teil einer Strecke zum größeren Teil der Strecke so verhalten, wie der größere Teil der Strecke zur gesamten Länge der Strecke.

Rechnerich ergeben sich folgende Verhältnisse:

​$$\frac ab=\frac{a+b}{a}=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx 1{,}618\\\frac{a}{a+b}=\frac{\sqrt5-1}{2}\approx 0{,}618\\\frac{b}{a+b}=\frac{3-\sqrt5}{2}\approx 0{,}382\\$$​​

Um eine Seite im Goldenen Schnitt zu teilen, müssen a  und b  in beliebigen Einheiten folgendermaßen gewählt werden:

​$$a=\frac{\sqrt5-1}{2}\cdot s\\b=\frac{3-\sqrt5}{2}\cdot s$$​​

Verbindung zur Fibonacci-Folge

Das Verhältnis zwischen zwei aufeinanderfolgenden Werten der Fibonacci-Folge nähert sich dem Teilungsverhältnis $$\frac a {a+b}\approx0{,}618$$​ des Goldenen Schnitts an.

Goldener Schnitt in der Geometrie

Goldenes Dreieck

Ein Goldenes Dreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem das Verhältnis der Seite a  zu einem Schenkel d dem Goldenen Schnitt entspricht:

$$\frac ad\approx 0{,}382$$​​

Die drei Winkel sind immer $$72\degree,72\degree$$​ , und $$36\degree.$$

Fünfeck – Pentagramm (Sternfigur im Fünfeck)

Mehrere Seitenverhältnisse entsprechen in einem Fünfeck dem Goldenen Schnitt. Betrachte hierfür das Pentagramm (=Sternfigur), welches in das Fünfeck eingezeichnet werden kann:

• Verhältnisse der Seitenlängen zur Diagonalen:
  

​$$\frac{AB}{AD}\approx0{,}382,...$$​​

• Verhältnisse der Teilungen der Diagonalen:

​$$\frac{AF}{AD}\approx0{,}382, \frac{FG}{FD}\approx0{,}382,...$$​​

Goldene Spirale

Die Goldene Spirale besteht aus zusammengesetzten Viertelkreisen, die in immer kleiner werdende Quadrate eingezeichnet werden. Hierbei sind die Verhältnisse der Radien der einzelnen Viertelkreise so gewählt, dass sie dem Goldenen Schnitt entsprechen.

Die Goldene Spirale ist häufig in der Natur anzutreffen. Beispiele finden sich beispielsweise hier:

• Schneckenhäuser
  
• Pflanzenstrukturen