Brüche als Verhältnisse darstellen

Verhältnisse 

Definition

Bei Verhältnissen wird jeweils der Umfang einer Teilmenge mit dem Gesamtumfang verglichen. Dabei ist der Gesamtumfang die Summe aller Teile.

$$Verhältnis = \frac{Umfang\space Teilmenge}{Gesamtumfang}$$​​

Wenn das Verhältnis gleich bleiben soll, so muss die Teilmenge entsprechend wachsen, wenn der Gesamtumfang steigt. Entsprechend muss sie kleiner werden, wenn der Gesamtumfang sinkt.

• $$\frac35$$ aller Äpfel einer Ernte sind grün. Das kann zum Beispiel bedeuten, dass $$3$$ von $$5$$​ Äpfeln grün sind, oder $$9$$​ von $$15$$​ Äpfeln grün sind oder $$12\,000$$​ von $$20\,000$$​ Äpfeln grün sind. Wenn sich die Gesamtmenge der Äpfel ändert, bleibt hier das Verhältnis zwischen grünen Äpfeln und andersfarbigen Äpfeln trotzdem gleich. 
• Du willst Dir aus Wasser und Apfelsaft eine Apfelschorle mischen. Dafür muss die Hälfte der Apfelschorle aus Apfelsaft bestehen und die andere Hälfte aus Wasser. Das Verhältnis zwischen Apfelsaft und Wasser ist demnach $$\frac12$$​. Wenn Du Dir ein Glas Apfelschorle mischen willst, brauchst Du also $$\frac12 \cdot 1\, Glas=\frac12 \,Glas$$​ Apfelsaft. Für zwei Gläser Apfelschorle brauchst Du Apfelsaft. Das Verhältnis von Apfelsaft zu Wasser bleibt gleich.​

Vergrößern und Verkleinern von Verhältnissen

Wenn der Gesamtumfang gleich bleibt, sich aber die Teilmenge verändert, so verändert sich auch das Verhältnis.

Beispiel

Eine Schulklasse besteht aus $$30$$​ Kindern. Von den $$30$$​ Kindern sind $$10$$​ schon 12 Jahre alt. Das Verhältnis der 12-jährigen Kinder in der Klasse zu der Anzahl aller Kinder in der Klasse ist demnach $$\frac{10}{30}=\frac13$$​.

Ein paar Monate später hatten einige der Kinder Geburtstag. Nun sind $$20$$​ der $$30$$​ Kinder 12 Jahre alt. Das Verhältnis der 12-jährigen Kinder zu der Menge aller Kinder der Klasse ist nun $$\frac{20}{30}=\frac23$$​.

Beispiel

Du löst $$50\,ml$$​ Sirup in einem Glas Wasser auf, sodass im Glas am Ende ​​​$$100\,ml$$​ Sirup-Wasser sind. 

Das Getränk schmeckt sehr süß, das Verhältnis von Sirup zu Sirup-Wasser ist

$$\frac{50\,ml}{100\,ml}=\frac12$$

Damit das Getränk weniger süß schmeckt, gibst Du weitere 50 ml Wasser ins Glas. Das Verhältnis von Sirup zur Sirup-Wasser ist nun

​

​$$\frac{50\,ml}{100\,ml+50\,ml}=\frac{50\,ml}{150\,ml}=\frac13$$​​

Bei einer größeren Gesamtmenge und gleich bleibendem Anteil wird das Verhältnis kleiner.

Maßstab 

Definition

Ein Maßstab gibt das Verhältnis zwischen einer Größe in einer Abbildung und einer Größe, wie sie in Wirklichkeit ist, an. Maßstäbe werden meist mit einem Doppelpunkt „:" geschrieben und nicht mit einem Bruchstrich.

$$Maßstab = (Größe \, in \, Abbildung):(Größe\,in\,Wirklichkeit)$$​​

Dieses Konzept wird zum Beispiel in Landkarten verwendet, um zu zeigen, wie weit Städte voneinander entfernt sind oder auch für Gegenstände, die zu groß sind, um sie in einer Abbildung in ihrer tatsächlichen Größe vollständig zu zeigen. Außerdem kann ein Maßstab für Objekte verwendet werden, die zu klein sind, um in ihrer „Normalgröße“ etwas im Detail zu erkennen z.B. für die Beschreibung des Aufbaus von Insekten oder Bakterien.

Beispiele

• Du möchtest eine Karte (aus Vogelperspektive) von Deinem Zimmer zeichnen. Dazu könntest Du zum Beispiel einen Maßstab von verwenden. Dann entspricht $$1\,cm$$​ in der Abbildung $$100\,cm=1\,m$$​ in der Wirklichkeit. Wenn dein Zimmer also beispielsweise $$9\,m$$ lang ist, dann zeichnest du die Länge als $$9\,cm$$.
  
• Du möchtest eine Fliege abbilden und beschriften. Fliegen sind normalerweise etwa $$7\,mm$$ groß. Wenn Du eine Fliege nun im Maßstand $$20:1$$ abbildest, dann ist die Fliege in der Abbildung 20-mal größer als in der Realität, also $$140\,mm=14\,cm$$ groß.