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Wichtige Additionstheoreme kennen

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Zusammenfassung

Wichtige Additionstheoreme kennen

Einführung

Kennt man den Sinus- und den Kosinuswert zweier Winkel α\alpha​ und β\beta​, so kann man die Sinus- und Kosinuswerte von (α+β)\left(\alpha+\beta\right)​ berechnen. Allerdings gilt im Allgemeinen sin⁡(α+β)≠sin⁡(α)+sin⁡(β)\sin{\left(\alpha+\beta\right)}\neq\sin{\left(\alpha\right)}+\sin(\beta)​ und cos⁡(α+β)≠cos⁡(α)+cos⁡(β)\cos{\left(\alpha+\beta\right)}\neq\cos{\left(\alpha\right)}+\cos{\left(\beta\right)}​. Deshalb brauchen wir zur Berechnung dieser Summen andere Formeln.



Einfache Additionstheoreme

Sinus
​sin(α+β)=sin(α)⋅cos(β)+sin(β)⋅cos(α)sin{\left(\alpha+\beta\right)}=sin{\left(\alpha\right)}\cdot c o s{\left(\beta\right)}+sin{\left(\beta\right)}\cdot c o s{\left(\alpha\right)}​​
​sin(α−β)=sin(α)⋅cos(β)−sin(β)⋅cos(α)sin{\left(\alpha-\beta\right)}=sin{\left(\alpha\right)}\cdot c o s{\left(\beta\right)}-sin{\left(\beta\right)}\cdot c o s{\left(\alpha\right)}​​

Kosinus
​cos(α+β)=cos(α)⋅cos(β)−sin(α)⋅sin(β)cos{\left(\alpha+\beta\right)}=cos{\left(\alpha\right)}\cdot c o s{\left(\beta\right)}-sin{\left(\alpha\right)}\cdot s i n{\left(\beta\right)}​​
​cos(α−β)=cos(α)⋅cos(β)+sin(α)⋅sin(β)cos{\left(\alpha-\beta\right)}=cos{\left(\alpha\right)}\cdot c o s{\left(\beta\right)}+sin(\alpha)\cdot sin(\beta)​​

Tangens
​tan(α+β)=tan(α)+tan(β)1−tan(α)⋅tan(β)tan{\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{tan{\left(\alpha\right)+tan{\left(\beta\right)}}}{1-tan{\left(\alpha\right)}\cdot t a n{\left(\beta\right)}}​​
​tan(α−β)=tan(α)−tan(β)1+tan(α)⋅tan(β)tan{\left(\alpha-\beta\right)}=\frac{tan{\left(\alpha\right)-tan{(\beta)}}}{1+tan(\alpha)\cdot t a n(\beta)}​​

​

Doppelwinkelformel

Sinus und Kosinus
​sin(2α)=2sin(α)cos(α)sin{\left(2\alpha\right)}=2sin{\left(\alpha\right)}cos(\alpha)​​
​cos(2α)=cos2(α)−sin2(α)cos{\left(2\alpha\right)}={cos}^2{\left(\alpha\right)}-{sin}^2{(\alpha)}​​

Tangens
​tan(2α)=2⋅tan(α)1−tan2(α)tan{\left(2\alpha\right)}=\frac{2\cdot t a n{(\alpha)}}{1-{tan}^2{(\alpha)}}​​

​

Trigonometrischer Pythagoras

​cos2(α)=1−sin2(α){cos}^2{\left(\alpha\right)=1-{sin}^2{(\alpha)}}​​


Weitere Formeln

​sin(α)+sin(β)=2sin(α+β2)cos(α−β2)sin{\left(\alpha\right)}+sin{\left(\beta\right)}=2sin{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}cos{\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}​​
​sin(α)−sin(β)=2cos(α+β2)sin(α−β2)sin{\left(\alpha\right)}-sin{\left(\beta\right)}=2cos{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}sin{\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}​​
​cos(α)+cos(β)=2cos(α+β2)cos(α−β2)cos{\left(\alpha\right)}+cos{\left(\beta\right)}=2cos{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}cos{\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}​​
​cos(α)−cos(β)=−2sin(α+β2)sin(α−β2)cos{\left(\alpha\right)}-cos{\left(\beta\right)}=-2sin{\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}sin{\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}​​


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