Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen
Definition
Der Sinus- und Kosinussatz gelten für alle Dreiecke. Sie setzen Seitenlängen und Winkel in Verhältnisse.
Formeln
Sinussatz | sin(α)a=sin(β)b=sin(γ)c (Die Verhältnisse jeder Seite zum Sinus sind gleich.) |
Kosinussatz | a2=b2+c2−2bc⋅cos(α)b2=a2+c2−2ac⋅cos(β)c2=a2+b2−2ab⋅cos(γ) |
Flächenformel | F=21bc⋅sin(α)=21ab⋅sin(γ)=21ac⋅sin(β) |
Hinweis: Ist einer der Winkel 90°, so reduziert sich der Kosinussatz zum Satz des Pythagoras: c2=a2+b2.
Sinus- und Kosinussatz anwenden
Folgenden Übersicht zeigt, wann man welchen Satz anwenden sollte.
Gegebene Seiten/Winkel | Lösungsmenge | Möglicher Satz |
sww | Eine Seite und zwei Winkel: Winkel nebeneinander | Eindeutige Lösung | Sinussatz |
wsw | Eine Seite und zwei Winkel: Seite zwischen den Winkeln | Eindeutige Lösung | Sinussatz |
Ssw | Zwei Seiten ein Winkel: Seite am Winkel ist kürzer | Eindeutige Lösung | Sinussatz |
sSw | Zwei Seiten ein Winkel: Seite am Winkel ist länger | Keine eindeutige Lösung | Sinussatz |
sws | Zwei Seiten ein Winkel: Winkel zwischen Seiten | Eindeutige Lösung | Kosinussatz |
sss | Alle drei Seiten | Eindeutige Lösung | Kosinussatz |
www | Alle drei Winkel | Keine eindeutige Lösung | Keiner |
Erklärung
Die Buchstabenkürzel geben die Reihenfolge der gegebenen Winkel oder Seiten an.
- s: (kürzere) Seite
- S: (längere) Seite
- w: Winkel
Für Buchstaben, die nebeneinander stehen, sind die jeweiligen Seiten oder Winkel aneinanderlegend.
Beispiele
Beispiel - Sinussatz
Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks mit den Werten:
a=5cm,α=30° und β=70°
Winkelsumme 180°:
γ=180°−30°−70°=80°
Sinussatz für b:
sin(30°)5cm=sin(70°)bb=sin(30°)5cm⋅sin(70°)b=9.4cm
Sinussatz für c:
sin(30°)5cm=sin(80°)cc=sin(30°)5cm⋅sin(80°)c=9.85cm
Beispiel - Kosinussatz
Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks mit den Werten:
α=30°,b=10cm und c=7cm
Kosinussatz für a:
a2=102+72−2⋅10⋅7⋅cos(30°)a=5.29cm
Winkel β und γ beliebig mit dem Kosinussatz oder Sinussatz (empfohlen) berechnet:
sin(30°)5.29cm=sin(β)10cmsin(β)=5.29cmsin(30°)⋅10cmβ=70.1°
Winkelsumme 180°:
γ=180°−30°−70.1°=79.9°