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Mathematik
Zusammenfassung
Der Sinus- und Kosinussatz gelten für alle Dreiecke. Sie setzen Seitenlängen und Winkel in Verhältnisse.
Sinussatz | sin(α)a=sin(β)b=sin(γ)c (Die Verhältnisse jeder Seite zum Sinus sind gleich.) |
Kosinussatz | a2=b2+c2−2bc⋅cos(α)b2=a2+c2−2ac⋅cos(β)c2=a2+b2−2ab⋅cos(γ) |
Flächenformel | F=21bc⋅sin(α)=21ab⋅sin(γ)=21ac⋅sin(β) |
Hinweis: Ist einer der Winkel 90°, so reduziert sich der Kosinussatz zum Satz des Pythagoras: c2=a2+b2.
Folgenden Übersicht zeigt, wann man welchen Satz anwenden sollte.
Gegebene Seiten/Winkel | Lösungsmenge | Möglicher Satz | |
sww | Eine Seite und zwei Winkel: Winkel nebeneinander | Eindeutige Lösung | Sinussatz |
wsw | Eine Seite und zwei Winkel: Seite zwischen den Winkeln | Eindeutige Lösung | Sinussatz |
Ssw | Zwei Seiten ein Winkel: Seite am Winkel ist kürzer | Eindeutige Lösung | Sinussatz |
sSw | Zwei Seiten ein Winkel: Seite am Winkel ist länger | Keine eindeutige Lösung | Sinussatz |
sws | Zwei Seiten ein Winkel: Winkel zwischen Seiten | Eindeutige Lösung | Kosinussatz |
sss | Alle drei Seiten | Eindeutige Lösung | Kosinussatz |
www | Alle drei Winkel | Keine eindeutige Lösung | Keiner |
Die Buchstabenkürzel geben die Reihenfolge der gegebenen Winkel oder Seiten an.
Für Buchstaben, die nebeneinander stehen, sind die jeweiligen Seiten oder Winkel aneinanderlegend.
Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks mit den Werten:
a=5cm,α=30° und β=70°
Winkelsumme 180°:
γ=180°−30°−70°=80°
Sinussatz für b:
sin(30°)5cm=sin(70°)bb=sin(30°)5cm⋅sin(70°)b=9.4cm
Sinussatz für c:
sin(30°)5cm=sin(80°)cc=sin(30°)5cm⋅sin(80°)c=9.85cm
Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks mit den Werten:
α=30°,b=10cm und c=7cm
Kosinussatz für a:
a2=102+72−2⋅10⋅7⋅cos(30°)a=5.29cm
Winkel β und γ beliebig mit dem Kosinussatz oder Sinussatz (empfohlen) berechnet:
sin(30°)5.29cm=sin(β)10cmsin(β)=5.29cmsin(30°)⋅10cmβ=70.1°
Winkelsumme 180°:
γ=180°−30°−70.1°=79.9°
Der Sinus- und Kosinussatz gelten für alle Dreiecke. Sie setzen Seitenlängen und Winkel in Verhältnisse.
Sinussatz | sin(α)a=sin(β)b=sin(γ)c (Die Verhältnisse jeder Seite zum Sinus sind gleich.) |
Kosinussatz | a2=b2+c2−2bc⋅cos(α)b2=a2+c2−2ac⋅cos(β)c2=a2+b2−2ab⋅cos(γ) |
Flächenformel | F=21bc⋅sin(α)=21ab⋅sin(γ)=21ac⋅sin(β) |
Hinweis: Ist einer der Winkel 90°, so reduziert sich der Kosinussatz zum Satz des Pythagoras: c2=a2+b2.
Folgenden Übersicht zeigt, wann man welchen Satz anwenden sollte.
Gegebene Seiten/Winkel | Lösungsmenge | Möglicher Satz | |
sww | Eine Seite und zwei Winkel: Winkel nebeneinander | Eindeutige Lösung | Sinussatz |
wsw | Eine Seite und zwei Winkel: Seite zwischen den Winkeln | Eindeutige Lösung | Sinussatz |
Ssw | Zwei Seiten ein Winkel: Seite am Winkel ist kürzer | Eindeutige Lösung | Sinussatz |
sSw | Zwei Seiten ein Winkel: Seite am Winkel ist länger | Keine eindeutige Lösung | Sinussatz |
sws | Zwei Seiten ein Winkel: Winkel zwischen Seiten | Eindeutige Lösung | Kosinussatz |
sss | Alle drei Seiten | Eindeutige Lösung | Kosinussatz |
www | Alle drei Winkel | Keine eindeutige Lösung | Keiner |
Die Buchstabenkürzel geben die Reihenfolge der gegebenen Winkel oder Seiten an.
Für Buchstaben, die nebeneinander stehen, sind die jeweiligen Seiten oder Winkel aneinanderlegend.
Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks mit den Werten:
a=5cm,α=30° und β=70°
Winkelsumme 180°:
γ=180°−30°−70°=80°
Sinussatz für b:
sin(30°)5cm=sin(70°)bb=sin(30°)5cm⋅sin(70°)b=9.4cm
Sinussatz für c:
sin(30°)5cm=sin(80°)cc=sin(30°)5cm⋅sin(80°)c=9.85cm
Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks mit den Werten:
α=30°,b=10cm und c=7cm
Kosinussatz für a:
a2=102+72−2⋅10⋅7⋅cos(30°)a=5.29cm
Winkel β und γ beliebig mit dem Kosinussatz oder Sinussatz (empfohlen) berechnet:
sin(30°)5.29cm=sin(β)10cmsin(β)=5.29cmsin(30°)⋅10cmβ=70.1°
Winkelsumme 180°:
γ=180°−30°−70.1°=79.9°
Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte
FAQs
Frage: Gelten Sinussatz und Kosinussatz für alle Dreiecke?
Antwort: Der Sinus- und Kosinussatz gilt für alle Dreiecke. Sie setzen Seitenlängen und Winkel in Verhältnisse. Anders als beim Satz des Pythagoras ist hier also kein rechtwinkliges Dreieck vorgegeben.
Frage: Wann rechne ich mit dem Kosinussatz?
Antwort: Den Kosinussatz verwendest Du, wenn: Zwei Seiten und ein Winkel gegeben ist und Du möchtest den Winkel zwischen den Seiten berechnen, oder wenn alle drei Seiten gegeben sind.
Frage: Wann rechne ich mit dem Sinussatz?
Antwort: Den Sinussatz benutzt Du, wenn: Eine Seite und zwei Winkel gegeben sind und Du möchtest die Winkel nebeneinander oder die Seiten zwischen den Winkeln berechnen. Zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind und die Seite am Winkel ist kürzer oder Seite am Winkel ist länger (ohne eindeutige Lösung).
Theorie
Übungen
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