Gelten Sinussatz und Kosinussatz für alle Dreiecke?

Der Sinus- und Kosinussatz gilt für alle Dreiecke. Sie setzen Seitenlängen und Winkel in Verhältnisse. Anders als beim Satz des Pythagoras ist hier also kein rechtwinkliges Dreieck vorgegeben.

Wann rechne ich mit dem Kosinussatz?

Den Kosinussatz verwendest Du, wenn: Zwei Seiten und ein Winkel gegeben ist und Du möchtest den Winkel zwischen den Seiten berechnen, oder wenn alle drei Seiten gegeben sind.

Wann rechne ich mit dem Sinussatz?

Den Sinussatz benutzt Du, wenn: Eine Seite und zwei Winkel gegeben sind und Du möchtest die Winkel nebeneinander oder die Seiten zwischen den Winkeln berechnen. Zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind und die Seite am Winkel ist kürzer oder Seite am Winkel ist länger (ohne eindeutige Lösung).

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Lernziele

Mathematik

Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen

Mathe_Sek-Gymi_05GE_09_Trigonometrie_05_Sinus- und Kosinussatz 0

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Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen

Definition

Der Sinus- und Kosinussatz gelten für alle Dreiecke. Sie setzen Seitenlängen und Winkel in Verhältnisse.

Mathematik; Geometrie; FMS; Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen

Formeln

Sinussatz	$\frac{a}{sin\left(\alpha\right)}=\frac{b}{sin\left(\beta\right)}=\frac{c}{sin\left(\gamma\right)}$ (Die Verhältnisse jeder Seite zum Sinus sind gleich.)
Kosinussatz	$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos\left(\alpha\right)\\b^2=a^2+c^2-2ac\cdot cos\left(\beta\right)\\c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\left(\gamma\right)$
Flächenformel	$F=\frac{1}{2}bc\cdot s i n{\left(\alpha\right)}=\frac{1}{2}ab\cdot s i n{\left(\gamma\right)}=\frac{1}{2}ac\cdot sin(\beta)$

Hinweis: Ist einer der Winkel $90°$ , so reduziert sich der Kosinussatz zum Satz des Pythagoras: $c^2=a^2+b^2.$

Sinus- und Kosinussatz anwenden

Folgenden Übersicht zeigt, wann man welchen Satz anwenden sollte.

Gegebene Seiten/Winkel		Lösungsmenge	Möglicher Satz
sww	Eine Seite und zwei Winkel: Winkel nebeneinander	Eindeutige Lösung	Sinussatz
wsw	Eine Seite und zwei Winkel: Seite zwischen den Winkeln	Eindeutige Lösung	Sinussatz
Ssw	Zwei Seiten ein Winkel: Seite am Winkel ist kürzer	Eindeutige Lösung	Sinussatz
sSw	Zwei Seiten ein Winkel: Seite am Winkel ist länger	Keine eindeutige Lösung	Sinussatz
sws	Zwei Seiten ein Winkel: Winkel zwischen Seiten	Eindeutige Lösung	Kosinussatz
sss	Alle drei Seiten	Eindeutige Lösung	Kosinussatz
www	Alle drei Winkel	Keine eindeutige Lösung	Keiner

Erklärung

Die Buchstabenkürzel geben die Reihenfolge der gegebenen Winkel oder Seiten an.

s: (kürzere) Seite
S: (längere) Seite
w: Winkel

Für Buchstaben, die nebeneinander stehen, sind die jeweiligen Seiten oder Winkel aneinanderlegend.

Beispiele

Beispiel - Sinussatz

Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks mit den Werten:

$a=5cm, \alpha=30° \ und\ \beta=70°$

Winkelsumme 180°:

$\gamma=180°-30°-70°=80°$

Sinussatz für b:

$\frac{5cm}{sin(30°)}=\frac{b}{sin(70°)}\\b=\frac{5cm\cdot sin(70°)}{sin(30°)}\\b=9.4cm$

Sinussatz für c:

$\frac{5cm}{sin(30°)}=\frac {c}{sin(80°)}\\c=\frac{5cm\cdot sin(80°)}{sin(30°)}\\c=9.85cm$

Beispiel - Kosinussatz

Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks mit den Werten:

$\alpha=30°, b=10cm \ und\ c=7cm$

Kosinussatz für a:

$a^2={10}^2+7^2-2\cdot10\cdot7\cdot cos(30°)\\a=5.29cm$

Winkel $\beta\$ und $\gamma$ beliebig mit dem Kosinussatz oder Sinussatz (empfohlen) berechnet:

$\frac{5.29cm}{sin(30°)}=\frac{10cm}{sin(β)}\\sin\left(\beta\right)=\frac {sin(30°)\cdot10cm}{5.29cm}\\\beta=70.1°$

Winkelsumme 180°:

$\gamma=180°-30°-70.1°=79.9°$

Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen

Definition

Der Sinus- und Kosinussatz gelten für alle Dreiecke. Sie setzen Seitenlängen und Winkel in Verhältnisse.

Formeln

Sinussatz	$\frac{a}{sin\left(\alpha\right)}=\frac{b}{sin\left(\beta\right)}=\frac{c}{sin\left(\gamma\right)}$ (Die Verhältnisse jeder Seite zum Sinus sind gleich.)
Kosinussatz	$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos\left(\alpha\right)\\b^2=a^2+c^2-2ac\cdot cos\left(\beta\right)\\c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\left(\gamma\right)$
Flächenformel	$F=\frac{1}{2}bc\cdot s i n{\left(\alpha\right)}=\frac{1}{2}ab\cdot s i n{\left(\gamma\right)}=\frac{1}{2}ac\cdot sin(\beta)$

Hinweis: Ist einer der Winkel $90°$ , so reduziert sich der Kosinussatz zum Satz des Pythagoras: $c^2=a^2+b^2.$

Sinus- und Kosinussatz anwenden

Folgenden Übersicht zeigt, wann man welchen Satz anwenden sollte.

Gegebene Seiten/Winkel		Lösungsmenge	Möglicher Satz
sww	Eine Seite und zwei Winkel: Winkel nebeneinander	Eindeutige Lösung	Sinussatz
wsw	Eine Seite und zwei Winkel: Seite zwischen den Winkeln	Eindeutige Lösung	Sinussatz
Ssw	Zwei Seiten ein Winkel: Seite am Winkel ist kürzer	Eindeutige Lösung	Sinussatz
sSw	Zwei Seiten ein Winkel: Seite am Winkel ist länger	Keine eindeutige Lösung	Sinussatz
sws	Zwei Seiten ein Winkel: Winkel zwischen Seiten	Eindeutige Lösung	Kosinussatz
sss	Alle drei Seiten	Eindeutige Lösung	Kosinussatz
www	Alle drei Winkel	Keine eindeutige Lösung	Keiner

Erklärung

Die Buchstabenkürzel geben die Reihenfolge der gegebenen Winkel oder Seiten an.

s: (kürzere) Seite
S: (längere) Seite
w: Winkel

Für Buchstaben, die nebeneinander stehen, sind die jeweiligen Seiten oder Winkel aneinanderlegend.

Beispiele

Beispiel - Sinussatz

Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks mit den Werten:

$a=5cm, \alpha=30° \ und\ \beta=70°$

Winkelsumme 180°:

$\gamma=180°-30°-70°=80°$

Sinussatz für b:

$\frac{5cm}{sin(30°)}=\frac{b}{sin(70°)}\\b=\frac{5cm\cdot sin(70°)}{sin(30°)}\\b=9.4cm$

Sinussatz für c:

$\frac{5cm}{sin(30°)}=\frac {c}{sin(80°)}\\c=\frac{5cm\cdot sin(80°)}{sin(30°)}\\c=9.85cm$

Beispiel - Kosinussatz

Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks mit den Werten:

$\alpha=30°, b=10cm \ und\ c=7cm$

Kosinussatz für a:

$a^2={10}^2+7^2-2\cdot10\cdot7\cdot cos(30°)\\a=5.29cm$

Winkel $\beta\$ und $\gamma$ beliebig mit dem Kosinussatz oder Sinussatz (empfohlen) berechnet:

$\frac{5.29cm}{sin(30°)}=\frac{10cm}{sin(β)}\\sin\left(\beta\right)=\frac {sin(30°)\cdot10cm}{5.29cm}\\\beta=70.1°$

Winkelsumme 180°:

$\gamma=180°-30°-70.1°=79.9°$

Nicht weitergekommen mit der Lektion? Dann erarbeite Dir zuerst diese Grundlage:

Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte

Zur Lektion

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

FAQs

Frage: Gelten Sinussatz und Kosinussatz für alle Dreiecke?

Antwort: Der Sinus- und Kosinussatz gilt für alle Dreiecke. Sie setzen Seitenlängen und Winkel in Verhältnisse. Anders als beim Satz des Pythagoras ist hier also kein rechtwinkliges Dreieck vorgegeben.
Frage: Wann rechne ich mit dem Kosinussatz?

Antwort: Den Kosinussatz verwendest Du, wenn: Zwei Seiten und ein Winkel gegeben ist und Du möchtest den Winkel zwischen den Seiten berechnen, oder wenn alle drei Seiten gegeben sind.
Frage: Wann rechne ich mit dem Sinussatz?

Antwort: Den Sinussatz benutzt Du, wenn: Eine Seite und zwei Winkel gegeben sind und Du möchtest die Winkel nebeneinander oder die Seiten zwischen den Winkeln berechnen. Zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind und die Seite am Winkel ist kürzer oder Seite am Winkel ist länger (ohne eindeutige Lösung).

Theorie

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Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen

Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen

Definition

Formeln

Sinussatz

Kosinussatz

Flächenformel

Sinus- und Kosinussatz anwenden

Erklärung

Beispiele

Beispiel - Sinussatz

Beispiel - Kosinussatz

Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen

Definition

Formeln

Sinussatz

Kosinussatz

Flächenformel

Sinus- und Kosinussatz anwenden

Erklärung

Beispiele

Beispiel - Sinussatz

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