Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen

Definition

Der Sinus- und Kosinussatz gelten für alle Dreiecke. Sie setzen Seitenlängen und Winkel in Verhältnisse.

Sinussatz	$\frac{a}{sin\left(\alpha\right)}=\frac{b}{sin\left(\beta\right)}=\frac{c}{sin\left(\gamma\right)}$ (Die Verhältnisse jeder Seite zum Sinus sind gleich.)
Kosinussatz	$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos\left(\alpha\right)\\b^2=a^2+c^2-2ac\cdot cos\left(\beta\right)\\c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\left(\gamma\right)$
Flächenformel	$F=\frac{1}{2}bc\cdot s i n{\left(\alpha\right)}=\frac{1}{2}ab\cdot s i n{\left(\gamma\right)}=\frac{1}{2}ac\cdot sin(\beta)$

Hinweis: Ist einer der Winkel $90°$ , so reduziert sich der Kosinussatz zum Satz des Pythagoras: $c^2=a^2+b^2.$

Folgenden Übersicht zeigt, wann man welchen Satz anwenden sollte.

Gegebene Seiten/Winkel		Lösungsmenge	Möglicher Satz
sww	Eine Seite und zwei Winkel: Winkel nebeneinander	Eindeutige Lösung	Sinussatz
wsw	Eine Seite und zwei Winkel: Seite zwischen den Winkeln	Eindeutige Lösung	Sinussatz
Ssw	Zwei Seiten ein Winkel: Seite am Winkel ist kürzer	Eindeutige Lösung	Sinussatz
sSw	Zwei Seiten ein Winkel: Seite am Winkel ist länger	Keine eindeutige Lösung	Sinussatz
sws	Zwei Seiten ein Winkel: Winkel zwischen Seiten	Eindeutige Lösung	Kosinussatz
sss	Alle drei Seiten	Eindeutige Lösung	Kosinussatz
www	Alle drei Winkel	Keine eindeutige Lösung	Keiner

Die Buchstabenkürzel geben die Reihenfolge der gegebenen Winkel oder Seiten an.

Für Buchstaben, die nebeneinander stehen, sind die jeweiligen Seiten oder Winkel aneinanderlegend.

Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks mit den Werten:

$a=5cm, \alpha=30° \ und\ \beta=70°$

Winkelsumme 180°:

$\gamma=180°-30°-70°=80°$

Sinussatz für b:

$\frac{5cm}{sin(30°)}=\frac{b}{sin(70°)}\\b=\frac{5cm\cdot sin(70°)}{sin(30°)}\\b=9.4cm$

Sinussatz für c:

$\frac{5cm}{sin(30°)}=\frac {c}{sin(80°)}\\c=\frac{5cm\cdot sin(80°)}{sin(30°)}\\c=9.85cm$

Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks mit den Werten:

$\alpha=30°, b=10cm \ und\ c=7cm$

Kosinussatz für a:

$a^2={10}^2+7^2-2\cdot10\cdot7\cdot cos(30°)\\a=5.29cm$

Winkel $\beta\$ und $\gamma$ beliebig mit dem Kosinussatz oder Sinussatz (empfohlen) berechnet:

$\frac{5.29cm}{sin(30°)}=\frac{10cm}{sin(β)}\\sin\left(\beta\right)=\frac {sin(30°)\cdot10cm}{5.29cm}\\\beta=70.1°$

Winkelsumme 180°:

$\gamma=180°-30°-70.1°=79.9°$