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Erklärvideo

Lehrperson: Manuel Kant

Zusammenfassung

Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen

Definition

Der Sinus- und Kosinussatz gelten für alle Dreiecke. Sie setzen Seitenlängen und Winkel in Verhältnisse.

Mathematik; Geometrie; FMS; Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen



Formeln

Sinussatz
​asin(α)=bsin(β)=csin(γ)\frac{a}{sin\left(\alpha\right)}=\frac{b}{sin\left(\beta\right)}=\frac{c}{sin\left(\gamma\right)}sin(α)a​=sin(β)b​=sin(γ)c​​​
(Die Verhältnisse jeder Seite zum Sinus sind gleich.)

Kosinussatz
​a2=b2+c2−2bc⋅cos(α)b2=a2+c2−2ac⋅cos(β)c2=a2+b2−2ab⋅cos(γ)a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos\left(\alpha\right)\\b^2=a^2+c^2-2ac\cdot cos\left(\beta\right)\\c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\left(\gamma\right)a2=b2+c2−2bc⋅cos(α)b2=a2+c2−2ac⋅cos(β)c2=a2+b2−2ab⋅cos(γ)​​

Flächenformel
​F=12bc⋅sin(α)=12ab⋅sin(γ)=12ac⋅sin(β)F=\frac{1}{2}bc\cdot s i n{\left(\alpha\right)}=\frac{1}{2}ab\cdot s i n{\left(\gamma\right)}=\frac{1}{2}ac\cdot sin(\beta)F=21​bc⋅sin(α)=21​ab⋅sin(γ)=21​ac⋅sin(β)​​


Hinweis: Ist einer der Winkel 90°90°90°, so reduziert sich der Kosinussatz zum Satz des Pythagoras: c2=a2+b2.c^2=a^2+b^2.c2=a2+b2. 



Sinus- und Kosinussatz anwenden

Folgenden Übersicht zeigt, wann man welchen Satz anwenden sollte.


Gegebene Seiten/Winkel

Lösungsmenge

Möglicher Satz

sww

Eine Seite und zwei Winkel:

Winkel nebeneinander

Eindeutige Lösung

Sinussatz

wsw

Eine Seite und zwei Winkel:

Seite zwischen den Winkeln

Eindeutige Lösung

Sinussatz

Ssw

Zwei Seiten ein Winkel:

Seite am Winkel ist kürzer

Eindeutige Lösung

Sinussatz

sSw

Zwei Seiten ein Winkel:

Seite am Winkel ist länger

Keine eindeutige Lösung

Sinussatz

sws

Zwei Seiten ein Winkel:

Winkel zwischen Seiten

Eindeutige Lösung

Kosinussatz

sss

Alle drei Seiten

Eindeutige Lösung

Kosinussatz

www

Alle drei Winkel

Keine eindeutige Lösung

Keiner


Erklärung

Die Buchstabenkürzel geben die Reihenfolge der gegebenen Winkel oder Seiten an.

  • s: (kürzere) Seite
  • S: (längere) Seite
  • w: Winkel

Für Buchstaben, die nebeneinander stehen, sind die jeweiligen Seiten oder Winkel aneinanderlegend.


Beispiele
Mathematik; Geometrie; FMS; Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen


Beispiel -  Sinussatz

Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks mit den Werten:

​a=5cm,α=30° und β=70°a=5cm, \alpha=30° \ und\ \beta=70°a=5cm,α=30° und β=70°​​


Winkelsumme 180°: 

γ=180°−30°−70°=80°\gamma=180°-30°-70°=80°γ=180°−30°−70°=80°​​


Sinussatz für b:

5cmsin(30°)=bsin(70°)b=5cm⋅sin(70°)sin(30°)b=9.4cm\frac{5cm}{sin(30°)}=\frac{b}{sin(70°)}\\b=\frac{5cm\cdot sin(70°)}{sin(30°)}\\b=9.4cmsin(30°)5cm​=sin(70°)b​b=sin(30°)5cm⋅sin(70°)​b=9.4cm​​


Sinussatz für c:

​5cmsin(30°)=csin(80°)c=5cm⋅sin(80°)sin(30°)c=9.85cm\frac{5cm}{sin(30°)}=\frac {c}{sin(80°)}\\c=\frac{5cm\cdot sin(80°)}{sin(30°)}\\c=9.85cmsin(30°)5cm​=sin(80°)c​c=sin(30°)5cm⋅sin(80°)​c=9.85cm​​


Beispiel - Kosinussatz

Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks mit den Werten:

α=30°,b=10cm und c=7cm\alpha=30°, b=10cm \ und\ c=7cmα=30°,b=10cm und c=7cm​​


Kosinussatz für a:

a2=102+72−2⋅10⋅7⋅cos(30°)a=5.29cma^2={10}^2+7^2-2\cdot10\cdot7\cdot cos(30°)\\a=5.29cma2=102+72−2⋅10⋅7⋅cos(30°)a=5.29cm​​

Winkel β \beta\ β ​ und γ\gammaγ​ beliebig mit dem Kosinussatz oder Sinussatz (empfohlen) berechnet:

​5.29cmsin(30°)=10cmsin(β)sin(β)=sin(30°)⋅10cm5.29cmβ=70.1°\frac{5.29cm}{sin(30°)}=\frac{10cm}{sin(β)}\\sin\left(\beta\right)=\frac {sin(30°)\cdot10cm}{5.29cm}\\\beta=70.1°sin(30°)5.29cm​=sin(β)10cm​sin(β)=5.29cmsin(30°)⋅10cm​β=70.1°​​


Winkelsumme 180°: 

​γ=180°−30°−70.1°=79.9°\gamma=180°-30°-70.1°=79.9°γ=180°−30°−70.1°=79.9°​​




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Gelten Sinussatz und Kosinussatz für alle Dreiecke?

Der Sinus- und Kosinussatz gilt für alle Dreiecke. Sie setzen Seitenlängen und Winkel in Verhältnisse. Anders als beim Satz des Pythagoras ist hier also kein rechtwinkliges Dreieck vorgegeben.

Wann rechne ich mit dem Kosinussatz?

Den Kosinussatz verwendest Du, wenn: Zwei Seiten und ein Winkel gegeben ist und Du möchtest den Winkel zwischen den Seiten berechnen, oder wenn alle drei Seiten gegeben sind.

Wann rechne ich mit dem Sinussatz?

Den Sinussatz benutzt Du, wenn: Eine Seite und zwei Winkel gegeben sind und Du möchtest die Winkel nebeneinander oder die Seiten zwischen den Winkeln berechnen. Zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind und die Seite am Winkel ist kürzer oder Seite am Winkel ist länger (ohne eindeutige Lösung).

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