Umkehrfunktion: Definition & Beispiele

Definition

Tauscht man bei einer Funktion $$f$$​ die $$x-Werte$$​ und der $$y-Werte$$​, erhält man die Umkehrfunktion $$f^{-1}$$​ der Funktion. Eine Funktion ordnet einem $$x-Wert$$​ einen bestimmten $$y-Wert$$​ zu. Die Umkehrfunktion führt diesen $$y-Wert$$​ wieder zurück zum ursprünglichen $$x-Wert$$​. Im Koordinatensystem sind die Funktion und ihre Umkehrfunktion achsensymmetrisch zur Geraden $$y=x$$​.

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Eigenschaften

• Nicht jede Funktion ist auf ihrem ganzen Definitionsbereich umkehrbar.
• Umkehrbare Funktionen nennt man auch «invertierbare Funktionen».
  
• Funktionen sind genau dann umkehrbar, wenn es für jeden $$y-Wert$$​ im Wertebereich genau einen $$x-Wert$$​ im Definitionsbereich gibt.
• Die Umkehrfunktionen kennzeichnet man typischerweise mit einem «$$-1$$​»: Die Umkehrfunktion von $$f{x}$$​ notiert man als $$f^{-1}(x)$$​.

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Definitions- und Wertebereich

ALLGEMEIN

Der Definitions- und Wertebereich der Umkehrfunktion ist genau vertauscht:

• $$\mathbb{D}_{f^{-1}}=\mathbb{W}_f$$​​
  
• $$\mathbb{W}_{f^{-1}}=\mathbb{D}_f$$​​
  

NICHT-INVERTIERBARE FUNKTIONEN

Bei nicht-invertierbaren Funktionen kann man den Definitionsbereich so einschränken, dass die Funktion innerhalb des neuen Definitionsbereiches umkehrbar ist.

$$\mathbb{D}_f$$​: Grösstmöglicher Bereich, wo es für jeden $$y-Wert$$​ genau einen $$x-Wert$$​ gibt

$$\mathbb{W}_f$$​: Zugehöriger Wertebereich

Hinweis: Man kann den ursprünglichen Definitionsbereich in einzelne Bereiche trennen, wo die Funktion umkehrbar ist und die Umkehrfunktion in einem oder jedem dieser Bereiche berechnen.

Umkehrfunktion bestimmen

Gegeben ist eine Funktionsvorschrift einer Funktion.

VORGEHEN

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Umkehrfunktionen von typischen Funktionen

Lineare Funktionen

Lineare Funktionen sind immer umkehrbar.

Die Umkehrfunktion ist erneut eine lineare Funktion.

Beispiel: $$f\left(x\right)=2x+2, \mathbb{D}=\mathbb{R}$$​​

Vertausche $$x$$ und $$y$$​:

$$x=2y+2$$​​

Löse nach $$y$$​ auf:

​$$x-2=2y\\\frac{x}{2}-1=y$$​​

Umkehrfunktion:

$$f^{-1}\left(x\right)=\frac{1}{2}x-1$$​​

Grafische Darstellung:

Quadratische Funktionen

Um eine quadratische Funktion umzukehren muss man den Definitionsbereich einschränken. Man kann dabei das Intervall links oder rechts vom Scheitelpunkt wählen.

Die Umkehrfunktion ist eine Wurzelfunktion.

Beispiel: $$f\left(x\right)=\left(x-1\right)^2$$​​

nicht umkehrbar	umkehrbar
​$$\mathbb{D}=\mathbb{R}$$​​	​$$\mathbb{D}=[1,\infty)$$​​

Möglicher Definitionsbereich:

$$\mathbb{D}=[1,\infty)$$​​

Vertausche $$x$$​ und $$y$$​:

​$$x=\left(y-1\right)^2$$​​

Löse nach $$y$$​ auf: 

​$$\sqrt x=y-1\\\sqrt x+1=y$$​​

Hinweis: Hier verwendet man die positive Wurzel, sodass die Umkehrfunktion den gewünschten Wertebereich hat: $$\mathbb{W}_{f^{-1}}=\mathbb{D}_f=[1,\infty)$$

Umkehrfunktion:

$$f^{-1}(x)=\sqrt x+1$$​​

Grafische Darstellung:

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Weitere Potenzfunktionen

UNGERADER EXPONENT

Potenzfunktionen $$f\left(x\right)=x^n$$​ mit ungeradem Exponenten ($$n=1,\ 3,\ 5,\ldots$$​) sind immer umkehrbar.

Die Umkehrfunktion ist eine Wurzelfunktion.

Beispiel: $$f\left(x\right)=x^3,\ \mathbb{D}=\mathbb{R}$$​​

Vertausche $$x$$​ und $$y$$​:

$$x=y^3$$​​

Löse nach $$y$$ auf:

​$$\sqrt[3]{x}=y$$​​

Umkehrfunktion:

$$f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$$​​

Grafische Darstellung:

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GERADER EXPONENT

Um eine Potenzfunktion $$\ f\left(x\right)=x^n$$ mit geradem Exponenten ($$n=2,\ 4,\ 6,\ldots$$​) umzukehren, muss man den Definitionsbereich auf einen Bereich links oder rechts vom Scheitelpunkt einschränken.

Die Umkehrfunktion ist eine Wurzelfunktion.

Beispiel: $$f\left(x\right)=x^4$$​​

Gewählter Definitionsbereich:

$$\mathbb{D}=[0,\infty)$$​​

Vertausche $$x$$ und $$y$$​:

​$$x=y^4$$​​

Löse nach $$y$$​ auf:

​$$\sqrt[4]{x}=y$$​​

Umkehrfunktion:

$$f^{-1}(x)=\sqrt[4]{x}$$​​

Grafische Darstellung:

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Wurzelfunktionen

UNGERADER RADIKAND

Wurzelfunktionen $$\ f\left(x\right)=\sqrt[n]{x}$$  mit ungeradem Radikanden ($$n=1,\ 3,\ 5,\ldots$$​) sind immer umkehrbar.

Die Umkehrfunktion ist eine Potenzfunktion.

Beispiel: $$f\left(x\right)=\sqrt[5]{x},\ \mathbb{D}=\mathbb{R}$$​​

Vertausche $$x$$​ und $$y$$​: 

$$x=\sqrt[5]{y}$$​​

Löse nach $$y$$ auf:

​$$x^5=y$$​​

Umkehrfunktion:

$$f^{-1}(x)=x^5$$​​

Grafische Darstellung:

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GERADER RADIKAND

Wurzelfunktionen $$\ f\left(x\right)=\sqrt[n]{x}$$ mit geradem Radikanden ($$n=2,\ 4,\ 6,\ldots$$​​ ) sind auf ihrem Definitionsbereich ​$$\mathbb{D}=[0,\infty)$$​ immer umkehrbar. ​

Die Umkehrfunktion ist eine Potenzfunktion.

Beispiel: $$f\left(x\right)=\sqrt[4]{x},\mathbb{D}=[0,\infty)$$​​

Vertausche $$x$$ und $$y$$​:

$$x=\sqrt[4]{y}$$​​

Löse nach $$y$$​ auf:

​$$x^4=y$$​​

Umkehrfunktion:

$$f^{-1}(x)=x^4$$​​

Grafische Darstellung:

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Exponential- und Logarithmusfunktionen

Exponentialfunktionen $$f(x)=a^x$$ und Logarithmusfunktionen $$f(x)={log}_a{(x)}$$​ mit positiver Basis ($$a>0$$​) sind immer umkehrbar.

Die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ist eine Logarithmusfunktion.

Die Umkehrfunktion einer Logarithmusfunktion ist eine Exponentialfunktion.

Beispiel: $$f\left(x\right)=2^x,\ \mathbb{D}=\mathbb{R}$$​​

Vertausche $$x$$​ und $$y$$​:

$$x=2^y$$​​

Löse nach $$y$$​ auf:

​$${log}_2{(x)}=y$$​​

Umkehrfunktion:

$$f^{-1}(x)={log}_2{(x)}$$​​

Grafische Darstellung: