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Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

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Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Definition

Bei der Trigonometrischen Funktionen steht die Variable im Argument von Sinus, Kosinus oder Tangens (mehr Fälle werden hier nicht betrachtet). Sinus-, Kosinus und Tangensfunktionen sind periodische Funktionen, die sich entlang der xx-Achse in regelmässigen Abständen wiederholen.



Sinusfunktion

Formel

f(x)=sin(x)f\left(x\right)=sin{\left(x\right)}​​


DefinitionsbereichD\mathbb{D} 

Es dürfen alle Zahlen für xx eingesetzt werden:

D=R\mathbb{D}=\mathbb{R}​​


Wertebereich W\mathbb{W}

Die Funktionswerte liegen immer zwischen -1 und 1:

W=[1,1]\mathbb{W}=[-1,1]​​


Eigenschaften

  • sin(x)sin{\left(x\right)}  ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
  • wiederholt sich mit Periode 2π2\pi: sin(x+2π)=sin(x)sin(x+2\pi)=sin(x)


NULLSTELLEN

  • sin(x)sin{\left(x\right)}​ schneidet die xx-Achse bei: …(3π2|1)\left(-\frac{3\pi}{2}\middle|1\right)​, (π2|1)\left(\frac{\pi}{2}\middle|1\right), (5π2|1)\left(\frac{5\pi}{2}\middle|1\right), …
  • Die Nullstellen wiederholen sich alle 2π2\pi x=kπ\ x=k\cdot\pi mit kZk\in\mathbb{Z}: sin(x)=1sin{\left(x\right)}=1


HOCHPUNKTE

  • sin(x)sin{\left(x\right)}​ hat ihre höchsten Punkte bei:  (3π2|1)\left(-\frac{3\pi}{2}\middle|1\right), (π2|1)\left(\frac{\pi}{2}\middle|1\right), (5π2|1)\left(\frac{5\pi}{2}\middle|1\right), …
  • Die höchsten Punkte wiederholen sich alle 2π2\pi: x=π2+k2πx=\frac{\pi}{2}+k\cdot2\pi mit kZk\in\mathbb{Z}: sin(x)=1sin{\left(x\right)}=1


TIEFPUNKTE

  • sin(x)sin{\left(x\right)}​ hat ihre tiefsten Punkte bei: … (π2|1),(3π2|1),(7π2|1),\left(-\frac{\pi}{2}\middle|-1\right), \left(\frac{3\pi}{2}\middle|-1\right), \left(\frac{7\pi}{2}\middle|-1\right), …
  • Die tiefsten Punkte wiederholen sich alle 2π2\pi: x=32π+k2πx=\frac{3}{2}\pi+k\cdot2\pi mit kZk\in\mathbb{Z}: sin(x)=1sin{\left(x\right)}=-1



Mathematik; Trigonometrie; IMS; Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens



Kosinusfunktion

Formel

f(x)=cos(x)f\left(x\right)=cos{\left(x\right)}​​


Definitionsbereich D\mathbb{D}

Es dürfen alle Zahlen für  eingesetzt werden:

D=R\mathbb{D}=\mathbb{R}​​


Wertebereich W\mathbb{W}

Die Funktionswerte liegen immer zwischen -1 und 1:

W=[1,1]\mathbb{W}=[-1,1]​​


Eigenschaften

  • cos(x)cos{\left(x\right)}​ ist achsensymmetrisch zur yy-Achse.
  • cos(x)cos{\left(x\right)}​ wiederholt sich mit Periode 2π2\pi: cos(x+2π)=cos(x)cos{\left(x+2\pi\right)}=cos{\left(x\right)}


NULLSTELLEN

  • cos(x)cos{\left(x\right)}​ schneidet die xx-Achse bei: …, (3π2|0)\left(-\frac{3\pi}{2}\middle|0\right), (π2|0)\left(-\frac{\pi}{2}\middle|0\right), (π2|0)\left(\frac{\pi}{2}\middle|0\right), (3π2|0)\left(\frac{3\pi}{2}\middle|0\right), …
  • Die Nullstellen wiederholen sich alle π\pi:  x=π2+kπ\ x=\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi​ mit kZk\in\mathbb{Z}: cos(x)=0cos{\left(x\right)}=0


HOCHPUNKTE

  • cos(x)cos{\left(x\right)}​ hat ihre höchsten Punkte bei:  (2π|1)\left(-2\pi\middle|1\right), (0|1)\left(0\middle|1\right), (2π|1)\left(2\pi\middle|1\right), …
  • die höchsten Punkte wiederholen sich alle 2π2\pi: x=k2πx=k\cdot2\pi mit kZk\in\mathbb{Z}: cos(x)=1cos{\left(x\right)}=1


TIEFPUNKTE

  • cos(x)cos{\left(x\right)}​ hat ihre tiefsten Punkte bei:  (π|1)\left(-\pi\middle|-1\right), (π|1)\left(\pi\middle|-1\right), (3π|1)\left(3\pi\middle|-1\right), …
  • Die tiefsten Punkte wiederholen sich alle 2π2\pi: x=π+k2πx=\pi+k\cdot2\pi mit kZk\in\mathbb{Z}: cos(x)=1cos{\left(x\right)}=-1


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Tangensfunktion

Formel

tan(x)=sin(x)cos(x)tan{\left(x\right)}=\frac{sin{\left(x\right)}}{cos{\left(x\right)}}​​


Definitionsbereich D\mathbb{D}

Es dürfen alle Zahlen für xx die ungleich xπ2+kπ (kZ)x\neq\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi\ (k\in\mathbb{Z}) sind:

D=R/{π2+kπ,kZ}\mathbb{D}=\mathbb{R}/ \left\{\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi,k\in\mathbb{Z}\right\}​​


Wertebereich W\mathbb{W}

Die Funktionswerte yy können alle Zahlen annehmen:

W=R\mathbb{W}=\mathbb{R}​​


Eigenschaften

  • tan(x)tan{\left(x\right)}​ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
  • tan(x)tan{\left(x\right)}​ wiederholt sich mit Periode π\pi: tan(x+π)=tan(x)tan{\left(x+\pi\right)}=\tan{\left(x\right)}


NULLSTELLEN

  • tan(x)tan{\left(x\right)}​ schneidet die -Achse bei: …, (π|0)\left(-\pi\middle|0\right), (0|0)\left(0\middle|0\right), (π|0)\left(\pi\middle|0\right), …
  • Die Nullstellen wiederholen sich alle π\pi:  x=kπ\ x=k\cdot\pi​ mit kZk\in\mathbb{Z}: tan(x)=0tan{\left(x\right)}=0


ASYMPTOTEN

  • tan(x)tan{\left(x\right)}​ hat sich wiederholende senkrechte Asymptoten alle π\pi:  x=π2+kπ\ x=\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi


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FAQs – Frequently Asked Questions

Was ist der Unterschied zwischen Kosinus und Tangens?

Wie kann ich den Sinus/ Kosinus/ Tangens berechnen?

Was sind Trigonometrische Funktionen?