Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Definition

Bei der Trigonometrischen Funktionen steht die Variable im Argument von Sinus, Kosinus oder Tangens (mehr Fälle werden hier nicht betrachtet). Sinus-, Kosinus und Tangensfunktionen sind periodische Funktionen, die sich entlang der $$x$$​-Achse in regelmässigen Abständen wiederholen.

Sinusfunktion

Formel

$$f\left(x\right)=sin{\left(x\right)}$$​​

Definitionsbereich$$\mathbb{D}$$​ 

Es dürfen alle Zahlen für $$x$$​ eingesetzt werden:

$$\mathbb{D}=\mathbb{R}$$​​

Wertebereich $$\mathbb{W}$$​

Die Funktionswerte liegen immer zwischen -1 und 1:

$$\mathbb{W}=[-1,1]$$​​

Eigenschaften

• $$sin{\left(x\right)}$$​  ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
  
• wiederholt sich mit Periode $$2\pi$$​: $$sin(x+2\pi)=sin(x)$$​

NULLSTELLEN

• $$sin{\left(x\right)}$$​ schneidet die $$x$$​-Achse bei: …$$\left(-\frac{3\pi}{2}\middle|1\right)$$​, $$\left(\frac{\pi}{2}\middle|1\right)$$​, $$\left(\frac{5\pi}{2}\middle|1\right)$$​, …
• Die Nullstellen wiederholen sich alle $$2\pi$$​: $$\ x=k\cdot\pi$$​ mit $$k\in\mathbb{Z}$$​: $$sin{\left(x\right)}=1$$​

HOCHPUNKTE

• $$sin{\left(x\right)}$$​ hat ihre höchsten Punkte bei: … $$\left(-\frac{3\pi}{2}\middle|1\right)$$​, $$\left(\frac{\pi}{2}\middle|1\right)$$​, $$\left(\frac{5\pi}{2}\middle|1\right)$$​, …
• Die höchsten Punkte wiederholen sich alle $$2\pi$$​: $$x=\frac{\pi}{2}+k\cdot2\pi$$​ mit $$k\in\mathbb{Z}$$​: $$sin{\left(x\right)}=1$$​

TIEFPUNKTE

• ​$$sin{\left(x\right)}$$​ hat ihre tiefsten Punkte bei: … $$\left(-\frac{\pi}{2}\middle|-1\right), \left(\frac{3\pi}{2}\middle|-1\right), \left(\frac{7\pi}{2}\middle|-1\right), …$$
  
• Die tiefsten Punkte wiederholen sich alle $$2\pi$$​: $$x=\frac{3}{2}\pi+k\cdot2\pi$$​ mit $$k\in\mathbb{Z}$$​: $$sin{\left(x\right)}=-1$$​

Kosinusfunktion

Formel

$$f\left(x\right)=cos{\left(x\right)}$$​​

Definitionsbereich $$\mathbb{D}$$​

Es dürfen alle Zahlen für  eingesetzt werden:

$$\mathbb{D}=\mathbb{R}$$​​

Wertebereich $$\mathbb{W}$$​

Die Funktionswerte liegen immer zwischen -1 und 1:

$$\mathbb{W}=[-1,1]$$​​

Eigenschaften

• $$cos{\left(x\right)}$$​ ist achsensymmetrisch zur $$y$$​-Achse.
• $$cos{\left(x\right)}$$​ wiederholt sich mit Periode $$2\pi$$​: $$cos{\left(x+2\pi\right)}=cos{\left(x\right)}$$​

NULLSTELLEN

• $$cos{\left(x\right)}$$​ schneidet die $$x$$​-Achse bei: …, $$\left(-\frac{3\pi}{2}\middle|0\right)$$​, $$\left(-\frac{\pi}{2}\middle|0\right)$$​, $$\left(\frac{\pi}{2}\middle|0\right)$$​, $$\left(\frac{3\pi}{2}\middle|0\right)$$​, …
• Die Nullstellen wiederholen sich alle $$\pi$$​: $$\ x=\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi$$​ mit $$k\in\mathbb{Z}$$​: $$cos{\left(x\right)}=0$$​

HOCHPUNKTE

• $$cos{\left(x\right)}$$​ hat ihre höchsten Punkte bei: … $$\left(-2\pi\middle|1\right)$$​, $$\left(0\middle|1\right)$$​, $$\left(2\pi\middle|1\right)$$​, …
• die höchsten Punkte wiederholen sich alle $$2\pi$$​: $$x=k\cdot2\pi$$​ mit $$k\in\mathbb{Z}$$​: $$cos{\left(x\right)}=1$$​

TIEFPUNKTE

• $$cos{\left(x\right)}$$​ hat ihre tiefsten Punkte bei: … $$\left(-\pi\middle|-1\right)$$​, $$\left(\pi\middle|-1\right)$$​, $$\left(3\pi\middle|-1\right)$$​, …
• Die tiefsten Punkte wiederholen sich alle $$2\pi$$​: $$x=\pi+k\cdot2\pi$$​ mit $$k\in\mathbb{Z}$$​: $$cos{\left(x\right)}=-1$$​

Tangensfunktion

Formel

$$tan{\left(x\right)}=\frac{sin{\left(x\right)}}{cos{\left(x\right)}}$$​​

Definitionsbereich $$\mathbb{D}$$​

Es dürfen alle Zahlen für $$x$$​ die ungleich $$x\neq\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi\ (k\in\mathbb{Z})$$​ sind:

$$\mathbb{D}=\mathbb{R}/ \left\{\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi,k\in\mathbb{Z}\right\}$$​​

Wertebereich $$\mathbb{W}$$​

Die Funktionswerte $$y$$​ können alle Zahlen annehmen:

$$\mathbb{W}=\mathbb{R}$$​​

Eigenschaften

• $$tan{\left(x\right)}$$​ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
• $$tan{\left(x\right)}$$​ wiederholt sich mit Periode $$\pi$$​: $$tan{\left(x+\pi\right)}=\tan{\left(x\right)}$$​

NULLSTELLEN

• $$tan{\left(x\right)}$$​ schneidet die -Achse bei: …, $$\left(-\pi\middle|0\right)$$​, $$\left(0\middle|0\right)$$​, $$\left(\pi\middle|0\right)$$​, …
• Die Nullstellen wiederholen sich alle $$\pi$$​: $$\ x=k\cdot\pi$$​ mit $$k\in\mathbb{Z}$$​: $$tan{\left(x\right)}=0$$​

ASYMPTOTEN

• $$tan{\left(x\right)}$$​ hat sich wiederholende senkrechte Asymptoten alle $$\pi$$​: $$\ x=\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi$$​