Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens Definition Bei der Trigonometrischen Funktionen steht die Variable im Argument von Sinus, Kosinus oder Tangens (mehr Fälle werden hier nicht betrachtet). Sinus-, Kosinus und Tangensfunktionen sind periodische Funktionen, die sich entlang der x x x -Achse in regelmässigen Abständen wiederholen.
Sinusfunktion Formel f ( x ) = s i n ( x ) f\left(x\right)=sin{\left(x\right)} f ( x ) = s in ( x )
DefinitionsbereichD \mathbb{D} D Es dürfen alle Zahlen für x x x eingesetzt werden:
D = R \mathbb{D}=\mathbb{R} D = R
Wertebereich W \mathbb{W} W Die Funktionswerte liegen immer zwischen -1 und 1:
W = [ − 1 , 1 ] \mathbb{W}=[-1,1] W = [ − 1 , 1 ]
Eigenschaften s i n ( x ) sin{\left(x\right)} s in ( x )
ist punktsymmetrisch zum Ursprung. wiederholt sich mit Periode 2 π 2\pi 2 π : s i n ( x + 2 π ) = s i n ( x ) sin(x+2\pi)=sin(x) s in ( x + 2 π ) = s in ( x )
NULLSTELLEN s i n ( x ) sin{\left(x\right)} s in ( x ) schneidet die x x x -Achse bei : …( − 3 π 2 | 1 ) \left(-\frac{3\pi}{2}\middle|1\right) ( − 2 3 π 1 ) , ( π 2 | 1 ) \left(\frac{\pi}{2}\middle|1\right) ( 2 π 1 ) , ( 5 π 2 | 1 ) \left(\frac{5\pi}{2}\middle|1\right) ( 2 5 π 1 ) , … Die Nullstellen wiederholen sich alle 2 π 2\pi 2 π : x = k ⋅ π \ x=k\cdot\pi x = k ⋅ π mit k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k ∈ Z : s i n ( x ) = 1 sin{\left(x\right)}=1 s in ( x ) = 1
HOCHPUNKTE s i n ( x ) sin{\left(x\right)} s in ( x ) hat ihre höchsten Punkte bei: … ( − 3 π 2 | 1 ) \left(-\frac{3\pi}{2}\middle|1\right) ( − 2 3 π 1 ) , ( π 2 | 1 ) \left(\frac{\pi}{2}\middle|1\right) ( 2 π 1 ) , ( 5 π 2 | 1 ) \left(\frac{5\pi}{2}\middle|1\right) ( 2 5 π 1 ) , … Die höchsten Punkte wiederholen sich alle 2 π 2\pi 2 π : x = π 2 + k ⋅ 2 π x=\frac{\pi}{2}+k\cdot2\pi x = 2 π + k ⋅ 2 π mit k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k ∈ Z : s i n ( x ) = 1 sin{\left(x\right)}=1 s in ( x ) = 1
TIEFPUNKTE s i n ( x ) sin{\left(x\right)} s in ( x ) hat ihre tiefsten Punkte bei: … ( − π 2 | − 1 ) , ( 3 π 2 | − 1 ) , ( 7 π 2 | − 1 ) , … \left(-\frac{\pi}{2}\middle|-1\right), \left(\frac{3\pi}{2}\middle|-1\right), \left(\frac{7\pi}{2}\middle|-1\right), … ( − 2 π − 1 ) , ( 2 3 π − 1 ) , ( 2 7 π − 1 ) , … Die tiefsten Punkte wiederholen sich alle 2 π 2\pi 2 π : x = 3 2 π + k ⋅ 2 π x=\frac{3}{2}\pi+k\cdot2\pi x = 2 3 π + k ⋅ 2 π mit k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k ∈ Z : s i n ( x ) = − 1 sin{\left(x\right)}=-1 s in ( x ) = − 1
Kosinusfunktion Formel f ( x ) = c o s ( x ) f\left(x\right)=cos{\left(x\right)} f ( x ) = cos ( x )
Definitionsbereich D \mathbb{D} D Es dürfen alle Zahlen für eingesetzt werden:
D = R \mathbb{D}=\mathbb{R} D = R
Wertebereich W \mathbb{W} W Die Funktionswerte liegen immer zwischen -1 und 1:
W = [ − 1 , 1 ] \mathbb{W}=[-1,1] W = [ − 1 , 1 ]
Eigenschaften c o s ( x ) cos{\left(x\right)} cos ( x ) ist achsensymmetrisch zur y y y -Achse. c o s ( x ) cos{\left(x\right)} cos ( x ) wiederholt sich mit Periode 2 π 2\pi 2 π : c o s ( x + 2 π ) = c o s ( x ) cos{\left(x+2\pi\right)}=cos{\left(x\right)} cos ( x + 2 π ) = cos ( x )
NULLSTELLEN c o s ( x ) cos{\left(x\right)} cos ( x ) schneidet die x x x -Achse bei : …, ( − 3 π 2 | 0 ) \left(-\frac{3\pi}{2}\middle|0\right) ( − 2 3 π 0 ) , ( − π 2 | 0 ) \left(-\frac{\pi}{2}\middle|0\right) ( − 2 π 0 ) , ( π 2 | 0 ) \left(\frac{\pi}{2}\middle|0\right) ( 2 π 0 ) , ( 3 π 2 | 0 ) \left(\frac{3\pi}{2}\middle|0\right) ( 2 3 π 0 ) , … Die Nullstellen wiederholen sich alle π \pi π : x = π 2 + k ⋅ π \ x=\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi x = 2 π + k ⋅ π mit k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k ∈ Z : c o s ( x ) = 0 cos{\left(x\right)}=0 cos ( x ) = 0
HOCHPUNKTE c o s ( x ) cos{\left(x\right)} cos ( x ) hat ihre höchsten Punkte bei: … ( − 2 π | 1 ) \left(-2\pi\middle|1\right) ( − 2 π ∣ 1 ) , ( 0 | 1 ) \left(0\middle|1\right) ( 0 ∣ 1 ) , ( 2 π | 1 ) \left(2\pi\middle|1\right) ( 2 π ∣ 1 ) , … die höchsten Punkte wiederholen sich alle 2 π 2\pi 2 π : x = k ⋅ 2 π x=k\cdot2\pi x = k ⋅ 2 π mit k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k ∈ Z : c o s ( x ) = 1 cos{\left(x\right)}=1 cos ( x ) = 1
TIEFPUNKTE c o s ( x ) cos{\left(x\right)} cos ( x ) hat ihre tiefsten Punkte bei: … ( − π | − 1 ) \left(-\pi\middle|-1\right) ( − π ∣ − 1 ) , ( π | − 1 ) \left(\pi\middle|-1\right) ( π ∣ − 1 ) , ( 3 π | − 1 ) \left(3\pi\middle|-1\right) ( 3 π ∣ − 1 ) , … Die tiefsten Punkte wiederholen sich alle 2 π 2\pi 2 π : x = π + k ⋅ 2 π x=\pi+k\cdot2\pi x = π + k ⋅ 2 π mit k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k ∈ Z : c o s ( x ) = − 1 cos{\left(x\right)}=-1 cos ( x ) = − 1
Tangensfunktion Formel t a n ( x ) = s i n ( x ) c o s ( x ) tan{\left(x\right)}=\frac{sin{\left(x\right)}}{cos{\left(x\right)}} t an ( x ) = cos ( x ) s in ( x )
Definitionsbereich D \mathbb{D} D Es dürfen alle Zahlen für x x x die ungleich x ≠ π 2 + k ⋅ π ( k ∈ Z ) x\neq\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi\ (k\in\mathbb{Z}) x = 2 π + k ⋅ π ( k ∈ Z ) sind:
D = R / { π 2 + k ⋅ π , k ∈ Z } \mathbb{D}=\mathbb{R}/ \left\{\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi,k\in\mathbb{Z}\right\} D = R / { 2 π + k ⋅ π , k ∈ Z }
Wertebereich W \mathbb{W} W Die Funktionswerte y y y können alle Zahlen annehmen:
W = R \mathbb{W}=\mathbb{R} W = R
Eigenschaften t a n ( x ) tan{\left(x\right)} t an ( x ) ist punktsymmetrisch zum Ursprung.t a n ( x ) tan{\left(x\right)} t an ( x ) wiederholt sich mit Periode π \pi π : t a n ( x + π ) = tan ( x ) tan{\left(x+\pi\right)}=\tan{\left(x\right)} t an ( x + π ) = tan ( x )
NULLSTELLEN t a n ( x ) tan{\left(x\right)} t an ( x ) schneidet die -Achse bei : …, ( − π | 0 ) \left(-\pi\middle|0\right) ( − π ∣ 0 ) , ( 0 | 0 ) \left(0\middle|0\right) ( 0 ∣ 0 ) , ( π | 0 ) \left(\pi\middle|0\right) ( π ∣ 0 ) , … Die Nullstellen wiederholen sich alle π \pi π : x = k ⋅ π \ x=k\cdot\pi x = k ⋅ π mit k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k ∈ Z : t a n ( x ) = 0 tan{\left(x\right)}=0 t an ( x ) = 0
ASYMPTOTEN t a n ( x ) tan{\left(x\right)} t an ( x ) hat sich wiederholende senkrechte Asymptoten alle π \pi π : x = π 2 + k ⋅ π \ x=\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi x = 2 π + k ⋅ π