Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Definition

Bei der Trigonometrischen Funktionen steht die Variable im Argument von Sinus, Kosinus oder Tangens (mehr Fälle werden hier nicht betrachtet). Sinus-, Kosinus und Tangensfunktionen sind periodische Funktionen, die sich entlang der $x$ -Achse in regelmässigen Abständen wiederholen.

Sinusfunktion

Formel

$f\left(x\right)=sin{\left(x\right)}$

Definitionsbereich $\mathbb{D}$

Es dürfen alle Zahlen für $x$ eingesetzt werden:

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Wertebereich $\mathbb{W}$

Die Funktionswerte liegen immer zwischen -1 und 1:

$\mathbb{W}=[-1,1]$

Eigenschaften

$sin{\left(x\right)}$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
wiederholt sich mit Periode $2\pi$ : $sin(x+2\pi)=sin(x)$

NULLSTELLEN

$sin{\left(x\right)}$ schneidet die $x$ -Achse bei: … $\left(-\frac{3\pi}{2}\middle|1\right)$ , $\left(\frac{\pi}{2}\middle|1\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{2}\middle|1\right)$ , …
Die Nullstellen wiederholen sich alle $2\pi$ : $\ x=k\cdot\pi$ mit $k\in\mathbb{Z}$ : $sin{\left(x\right)}=1$

HOCHPUNKTE

$sin{\left(x\right)}$ hat ihre höchsten Punkte bei: … $\left(-\frac{3\pi}{2}\middle|1\right)$ , $\left(\frac{\pi}{2}\middle|1\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{2}\middle|1\right)$ , …
Die höchsten Punkte wiederholen sich alle $2\pi$ : $x=\frac{\pi}{2}+k\cdot2\pi$ mit $k\in\mathbb{Z}$ : $sin{\left(x\right)}=1$

TIEFPUNKTE

$sin{\left(x\right)}$ hat ihre tiefsten Punkte bei: … $\left(-\frac{\pi}{2}\middle|-1\right), \left(\frac{3\pi}{2}\middle|-1\right), \left(\frac{7\pi}{2}\middle|-1\right), …$
Die tiefsten Punkte wiederholen sich alle $2\pi$ : $x=\frac{3}{2}\pi+k\cdot2\pi$ mit $k\in\mathbb{Z}$ : $sin{\left(x\right)}=-1$

Mathematik; Trigonometrie; IMS; Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Kosinusfunktion

Formel

$f\left(x\right)=cos{\left(x\right)}$

Definitionsbereich $\mathbb{D}$

Es dürfen alle Zahlen für eingesetzt werden:

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Wertebereich $\mathbb{W}$

Die Funktionswerte liegen immer zwischen -1 und 1:

$\mathbb{W}=[-1,1]$

Eigenschaften

$cos{\left(x\right)}$ ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.
$cos{\left(x\right)}$ wiederholt sich mit Periode $2\pi$ : $cos{\left(x+2\pi\right)}=cos{\left(x\right)}$

NULLSTELLEN

$cos{\left(x\right)}$ schneidet die $x$ -Achse bei: …, $\left(-\frac{3\pi}{2}\middle|0\right)$ , $\left(-\frac{\pi}{2}\middle|0\right)$ , $\left(\frac{\pi}{2}\middle|0\right)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}\middle|0\right)$ , …
Die Nullstellen wiederholen sich alle $\pi$ : $\ x=\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi$ mit $k\in\mathbb{Z}$ : $cos{\left(x\right)}=0$

HOCHPUNKTE

$cos{\left(x\right)}$ hat ihre höchsten Punkte bei: … $\left(-2\pi\middle|1\right)$ , $\left(0\middle|1\right)$ , $\left(2\pi\middle|1\right)$ , …
die höchsten Punkte wiederholen sich alle $2\pi$ : $x=k\cdot2\pi$ mit $k\in\mathbb{Z}$ : $cos{\left(x\right)}=1$

TIEFPUNKTE

$cos{\left(x\right)}$ hat ihre tiefsten Punkte bei: … $\left(-\pi\middle|-1\right)$ , $\left(\pi\middle|-1\right)$ , $\left(3\pi\middle|-1\right)$ , …
Die tiefsten Punkte wiederholen sich alle $2\pi$ : $x=\pi+k\cdot2\pi$ mit $k\in\mathbb{Z}$ : $cos{\left(x\right)}=-1$

Mathematik; Trigonometrie; IMS; Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Tangensfunktion

Formel

$tan{\left(x\right)}=\frac{sin{\left(x\right)}}{cos{\left(x\right)}}$

Definitionsbereich $\mathbb{D}$

Es dürfen alle Zahlen für $x$ die ungleich $x\neq\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi\ (k\in\mathbb{Z})$ sind:

$\mathbb{D}=\mathbb{R}/ \left\{\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi,k\in\mathbb{Z}\right\}$

Wertebereich $\mathbb{W}$

Die Funktionswerte $y$ können alle Zahlen annehmen:

$\mathbb{W}=\mathbb{R}$

Eigenschaften

$tan{\left(x\right)}$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
$tan{\left(x\right)}$ wiederholt sich mit Periode $\pi$ : $tan{\left(x+\pi\right)}=\tan{\left(x\right)}$

NULLSTELLEN

$tan{\left(x\right)}$ schneidet die -Achse bei: …, $\left(-\pi\middle|0\right)$ , $\left(0\middle|0\right)$ , $\left(\pi\middle|0\right)$ , …
Die Nullstellen wiederholen sich alle $\pi$ : $\ x=k\cdot\pi$ mit $k\in\mathbb{Z}$ : $tan{\left(x\right)}=0$

ASYMPTOTEN

$tan{\left(x\right)}$ hat sich wiederholende senkrechte Asymptoten alle $\pi$ : $\ x=\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi$

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