Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Definition

Eine Potenzfunktion mit natürlichen Exponenten (ganzzahlige positive) beinhaltet Terme einer Variablen in verschiedenen Potenzen und hat die Form:

$$f\left(x\right)=\ldots+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x\ +\ a_0$$​​

Es gilt:

• $$a_n\in\mathbb{R}$$​ : reelle Koeffizienten
• Exponenten sind natürliche Zahlen: $$0,1,2,3,\ldots.$$​​
• $$0,1,2,3,\ldots.$$

Grad

Der Grad einer Funktion ist der höchste vorkommende Exponent der Variable.

Hinweis: Die Graphen von Basisfunktion mit natürlichen Exponenten heissen Parabeln.

Beispiel

$$f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^4+2x^3+x^2+1$$ hat Grad 4.

Basisfunktionen

Terme der Form $$x,x^2,x^3,x^4,x^5,\ldots$$​ heissen Basisfunktionen. Sie enthalten einen Term ohne Koeffizienten.

Definitionsbereich $$\mathbb{D}$$​​

In die Potenzfunktion mit natürlichen Exponentenkönnen alle reellen Zahlen eingesetzt werden:

$$\mathbb{D}=\mathbb{R}$$​​

Wertebereich $$\mathbb{W}$$

Hinweis: Verschiebt man die Basisfunktion in y-Richtung (Beispiel: $$f\left(x\right)=x^2+4$$​ ) so ändert sich für der Wertebereich entsprechen der Verschiebung ($$\mathbb{W}=\mathbb{R}\geq4$$​)

​

Darstellung

Exponent 1 ​$$x$$​​	Exponent gerade ​$$x^2, x^4, x^6, ...$$​​	Exponent ungerade ​$$x^3, x^5, x^7, ...$$​​
Punktsymmetrisch zum Ursprung: ​$$f(-x)=-f(x)$$​​	Achsensymmetrisch zur y-Achse: ​$$f(-x)=f(x)$$​​	Punktsymmetrisch zum Ursprung: ​$$f(-x)=-f(x)$$​​
Wertetabelle für $$f(x)=x$$​: ​$$x$$​​ ​$$-3$$​​ ​$$-2$$​​ ​$$-1$$​​ ​$$0$$​​ ​$$1$$​​ ​$$2$$​​ ​$$3$$​​ ​$$y$$​​ ​$$-3$$​​ ​$$-2$$​​ ​$$-1$$​​ ​$$0$$​​ ​$$1$$​​ ​$$2$$​​ ​$$3$$​​	Wertetabelle für $$f(x)=x^2$$​: ​$$x$$​​ ​$$-3$$​​ ​$$-2$$​​ ​$$-1$$​​ ​$$0$$​​ ​$$1$$​​ ​$$2$$​​ ​$$3$$​​ ​$$y$$​​ ​$$9$$​​ ​$$4$$​​ ​$$1$$​​ ​$$0$$​​ ​$$1$$​​ ​$$4$$​​ ​$$9$$​​	Wertetabelle für $$f(x)=x^3$$: ​$$x$$​​ ​$$-3$$​​ ​$$-2$$​​ ​$$-1$$​​ ​$$0$$​​ ​$$1$$​​ ​$$2$$​​ ​$$3$$​​ ​$$y$$​​ ​$$-27$$​​ ​$$-8$$​​ ​$$-1$$​​ ​$$0$$​​ ​$$1$$​​ ​$$8$$​​ ​$$27$$​​