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Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

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Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Definition

Eine Potenzfunktion mit natürlichen Exponenten (ganzzahlige positive) beinhaltet Terme einer Variablen in verschiedenen Potenzen und hat die Form:

f(x)=+a4x4+a3x3+a2x2+a1x + a0f\left(x\right)=\ldots+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x\ +\ a_0​​


Es gilt:

  • anRa_n\in\mathbb{R} : reelle Koeffizienten
  • Exponenten sind natürliche Zahlen: 0,1,2,3,.0,1,2,3,\ldots.​​
  • 0,1,2,3,.0,1,2,3,\ldots.


Grad

Der Grad einer Funktion ist der höchste vorkommende Exponent der Variable.


Hinweis: Die Graphen von Basisfunktion mit natürlichen Exponenten heissen Parabeln.


Beispiel

f(x)=12x4+2x3+x2+1f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^4+2x^3+x^2+1 hat Grad 4.



Basisfunktionen

Terme der Form x,x2,x3,x4,x5,x,x^2,x^3,x^4,x^5,\ldots heissen Basisfunktionen. Sie enthalten einen Term ohne Koeffizienten.


f(x)=xf\left(x\right)=x​​
f(x)=x2f\left(x\right)=x^2​​
f(x)=x3f\left(x\right)=x^3​​
f(x)=x4f\left(x\right)=x^4​​
f(x)=x5f\left(x\right)=x^5​​
f(x)= f\left(x\right)=\ \ldots​​


Definitionsbereich D\mathbb{D}​​

In die Potenzfunktion mit natürlichen Exponentenkönnen alle reellen Zahlen eingesetzt werden:

D=R\mathbb{D}=\mathbb{R}​​


Wertebereich W\mathbb{W}

GRAD UNGERADE

(ALLE FUNKTIONEN)

Die yy-Werte können beliebige reelle Zahlen annehmen:

W=R\mathbb{W}=\mathbb{R}​​

GRAD GERADE

(BASISFUNKTIONEN)

Die yy-Werte sind immer positiv:

W=R0+\mathbb{W}=\mathbb{R}_0^+​​


Hinweis: Verschiebt man die Basisfunktion in y-Richtung (Beispiel: f(x)=x2+4f\left(x\right)=x^2+4 ) so ändert sich für der Wertebereich entsprechen der Verschiebung (W=R4\mathbb{W}=\mathbb{R}\geq4)


Darstellung

Exponent 1
xx​​
Exponent gerade
x2,x4,x6,...x^2, x^4, x^6, ...​​
Exponent ungerade
x3,x5,x7,...x^3, x^5, x^7, ...​​
Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten
  • Punktsymmetrisch zum Ursprung:
  • f(x)=f(x)f(-x)=-f(x)​​
  • Achsensymmetrisch zur y-Achse:
  • f(x)=f(x)f(-x)=f(x)​​
  • Punktsymmetrisch zum Ursprung:
  • f(x)=f(x)f(-x)=-f(x)​​
Wertetabelle für f(x)=xf(x)=x​:
xx​​
3-3​​
2-2​​
1-1​​
00​​
11​​
22​​
33​​
yy​​
3-3​​
2-2​​
1-1​​
00​​
11​​
22​​
33​​
Wertetabelle für f(x)=x2f(x)=x^2​:
xx​​
3-3​​
2-2​​
1-1​​
00​​
11​​
22​​
33​​
yy​​
99​​
44​​
11​​
00​​
11​​
44​​
99​​
Wertetabelle für f(x)=x3f(x)=x^3:
xx​​
3-3​​
2-2​​
1-1​​
00​​
11​​
22​​
33​​
yy​​
27-27​​
8-8​​
1-1​​
00​​
11​​
88​​
2727​​







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