Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Definition

Eine Potenzfunktion mit natürlichen Exponenten (ganzzahlige positive) beinhaltet Terme einer Variablen in verschiedenen Potenzen und hat die Form:

$f\left(x\right)=\ldots+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x\ +\ a_0$

Es gilt:

$a_n\in\mathbb{R}$ : reelle Koeffizienten
Exponenten sind natürliche Zahlen: $0,1,2,3,\ldots.$
$0,1,2,3,\ldots.$

Grad

Der Grad einer Funktion ist der höchste vorkommende Exponent der Variable.

Hinweis: Die Graphen von Basisfunktion mit natürlichen Exponenten heissen Parabeln.

Beispiel

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^4+2x^3+x^2+1$ hat Grad 4.

Basisfunktionen

Terme der Form $x,x^2,x^3,x^4,x^5,\ldots$ heissen Basisfunktionen. Sie enthalten einen Term ohne Koeffizienten.

f\left(x\right)=x

f\left(x\right)=x^2

f\left(x\right)=x^3

f\left(x\right)=x^4

f\left(x\right)=x^5

f\left(x\right)=\ \ldots

Definitionsbereich $\mathbb{D}$

In die Potenzfunktion mit natürlichen Exponentenkönnen alle reellen Zahlen eingesetzt werden:

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Wertebereich $\mathbb{W}$

GRAD UNGERADE

(ALLE FUNKTIONEN)

Die $y$ -Werte können beliebige reelle Zahlen annehmen:

$\mathbb{W}=\mathbb{R}$

GRAD GERADE

(BASISFUNKTIONEN)

Die $y$ -Werte sind immer positiv:

$\mathbb{W}=\mathbb{R}_0^+$

Hinweis: Verschiebt man die Basisfunktion in y-Richtung (Beispiel: $f\left(x\right)=x^2+4$ ) so ändert sich für der Wertebereich entsprechen der Verschiebung ( $\mathbb{W}=\mathbb{R}\geq4$ )

Darstellung

Exponent 1

x

Exponent gerade

x^2, x^4, x^6, ...

Exponent ungerade

x^3, x^5, x^7, ...

Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Mathematik; Die Potenz- / Wurzel- / Exponential- und Logarithmusfunktion; BMS; Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Punktsymmetrisch zum Ursprung:
$f(-x)=-f(x)$

Achsensymmetrisch zur y-Achse:
$f(-x)=f(x)$

Punktsymmetrisch zum Ursprung:
$f(-x)=-f(x)$

Wertetabelle für

f(x)=x

:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Wertetabelle für

f(x)=x^2

:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Wertetabelle für

f(x)=x^3

:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$-27$	$-8$	$-1$	$0$	$1$	$8$	$27$