Quadratische Funktionen: Definition, Darstellung & Eigenschaften

Definition

Eine quadratische Funktion ist ein Polynom, wobei der höchste Exponent von $x$ zwei ist.

$f\left(x\right)={\ldots x}^2\ldots$

Graph

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel («lachender oder weinender Smiley»).

Mathematik; Arithmetik; 3. Sek / Bez / Real; Quadratische Funktionen: Definition, Darstellung & Eigenschaften

Rein quadratische Funktion

Definition

Die rein quadratische Funktion ist die einfachste Form der quadratischen Funktion:

$f(x)=ax^2$

$a$ : Streckfaktor

DARSTELLUNG $f(x)=x^2$

Wertetabelle

Graph

$x$	$...$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$...$
$y$	$...$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$	$...$

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BEGRIFFE

Scheitelpunkt

Der höchste bzw. tiefste Punkt der Parabel.

Bei der reinen quadratischen Funktion ist der Scheitelpunkt der der Ursprung $S(0|0)$ .

Normalparabel

Parabel für $a=1$ :

$f(x)=x^2$

Eigenschaften

ALLGEMEIN

Die Funktion ist achsensymmetisch zur $y-$ Achse und nach oben geöffnet.

Es gilt: $f(0)=0$

STRECKFAKTOr $a$

$a>0$	$a<0$	$\left\|a\right\|>1$	$\left\|a\right\|<1$
Die Parabel ist nach oben geöffnet.	Die Parabel ist nach unten geöffnet.	Streckungsfaktor in y-Richtung	Stauchungsfaktor in y-Richtung

Normalformel

Definition

Die Normalformel ist eine ausmultiplizierte Form der quadratischen Funktion:

f(x)={ax}^2+bx+c

a

: Streckungs-/Stauchungsfaktor

b

: keine direkt ersichtliche Bedeutung

c

:

y

-Achsenabschnitt

Eigenschaften

STRECKUNGS-/STAUCHUNGSFAKTOR $a$

Wie bei der rein quadratischen Funktion.

$y$ -ACHSENABSCHNITT

Stelle auf der y-Achse an der die Funktion die Achse schneidet.

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Vorgehen bei typischen Aufgaben

y-Achsenabschnittpunkt bestimmen

VORGEHEN

1.	Bestimme die Normalformel der quadratischen Funktion: $f(x)={ax}^2+bx+c$
2.	Lese den Achsenabschnitt $c$ ab.
3.	Notiere den Abschnitt als Punkt: $y$ -Achsenabschnittpunkt: $P(0\|c)$

Beispiel

Gegeben:

$f(x)=x^2+x-6$

y-Achsenabschnitt:

$c=-6$

y-Achsenabschnittpunkt:

$P(0|-6)$

Nullstellen bestimmen

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion kennzeichnen die Punkte, wo die Parabel die x-Achse schneidet oder berührt. Eine quadratische Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen haben.

VORGEHEN

1.	Bestimme die Normalformel der quadratischen Funktion: $f(x)={ax}^2+bx+c$
2.	Setze die Funktion gleich Null: $0={ax}^2+bx+c$
3.	Löse die quadratische Gleichung (gegebenenfalls mit der Mitternachtsformel). Die Lösungen sind die x-Werte der Nullstellen.
4.	Falls gefragt, notiere die Stellen als Punkt: $N_1\left(x_1\middle\|0\right)$ , $N_2\left(x_2\middle\|0\right)$

Tipp: Der x-Wert des Scheitelpunktes liegt in der Mitte der Nullstellen: $x_s=\frac{x_1+x_2}{2}$

Beispiel

Gegeben:

$f(x)=x^2+x-6$

Löse die quadratische Gleichung:

$0=x^2+x-6\\0=(x+3)(x-2)$

$x=-3$ oder $x=2$

Die Nullstellen der quadratischen Funktion:

$\underline{P\left(-3\middle|0\right)}$ und $\underline{Q\left(2\middle|0\right)}$

Quadratische Funktion bestimmen mit drei Punkten

Gegeben sind drei Punkte auf der Funktion. Das Ziel ist, die Parameter a, b und c in der Normalformel der Funktion zu bestimmen.

VORGEHEN

1.

Setze die drei Punkte in die Normalformel ein:

$P_1$	$y_1={ax_1}^2+bx_1+c$
$P_2$	$y_2={ax_2}^2+bx_2+c$
$P_3$	$y_3={ax_3}^2+bx_3+c$

2.

Löse das Gleichungssystem und bestimme die Parameter a, b und c.

3.

Setze die Werte der Parameter in die Normalformel ein.

Beispiel

Gegeben: $P(-1|-4), Q(1|0),\ R(2|5)$

Setze die Punkte ein:

P:	$-4=a-b+c$
Q:	$0=a+b+c$
R:	$5=4a+2b+c$

Löse das Gleichungssystem:

$\left|\begin{matrix}-4=a-b+c\\0=a+b+c\\5=4a+2b+c\\\end{matrix}\right|$

Lösungen:

$a=1, b=2\ und\ c=-3$

Normalformel:

$\underline{f(x)=x^2+2x-3}$