Alles, um besser zu lernen...

Home

Mathematik

Arithmetik

Quadratische Funktionen: Definition, Darstellung & Eigenschaften

Quadratische Funktionen: Definition, Darstellung & Eigenschaften

Lektion auswählen

Mein Buch

Select an option

Konsumkredit und Leasing


Erklärvideo

Loading...
Lehrperson: Severina

Zusammenfassung

Quadratische Funktionen: Definition, Darstellung & Eigenschaften

Definition

Eine quadratische Funktion ist ein Polynom, wobei der höchste Exponent von xx zwei ist.

f(x)=x2f\left(x\right)={\ldots x}^2\ldots​​



Graph

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel («lachender oder weinender Smiley»).

Mathematik; Arithmetik; 3. Sek / Bez / Real; Quadratische Funktionen: Definition, Darstellung & Eigenschaften



Rein quadratische Funktion

Definition

Die rein quadratische Funktion ist die einfachste Form der quadratischen Funktion:

f(x)=ax2f(x)=ax^2​​

aa​: Streckfaktor


DARSTELLUNG f(x)=x2f(x)=x^2

Wertetabelle

Graph

xx​​
......​​
3-3​​
2-2​​
1-1​​
00​​
11​​
22​​
33​​
......​​
yy​​
......​​
99​​
44​​
11​​
00​​
11​​
44​​
99​​
......​​

Mathematik; Arithmetik; 3. Sek / Bez / Real; Quadratische Funktionen: Definition, Darstellung & Eigenschaften



BEGRIFFE

Scheitelpunkt

Der höchste bzw. tiefste Punkt der Parabel. 

Bei der reinen quadratischen Funktion ist der Scheitelpunkt der der Ursprung S(00)S(0|0).

Normalparabel

Parabel für a=1a=1:

f(x)=x2f(x)=x^2​​


Eigenschaften

ALLGEMEIN

Die Funktion ist achsensymmetisch zur yy-Achse und nach oben geöffnet.

Es gilt: f(0)=0f(0)=0


STRECKFAKTOr  aa

a>0a>0​​
a<0a<0​​
a>1\left|a\right|>1​​
a<1\left|a\right|<1​​

Die Parabel ist nach oben geöffnet.

Die Parabel ist nach unten geöffnet.

Streckungsfaktor in y-Richtung

Stauchungsfaktor in y-Richtung

Mathematik; Arithmetik; 3. Sek / Bez / Real; Quadratische Funktionen: Definition, Darstellung & Eigenschaften
Mathematik; Arithmetik; 3. Sek / Bez / Real; Quadratische Funktionen: Definition, Darstellung & Eigenschaften
Mathematik; Arithmetik; 3. Sek / Bez / Real; Quadratische Funktionen: Definition, Darstellung & Eigenschaften
Mathematik; Arithmetik; 3. Sek / Bez / Real; Quadratische Funktionen: Definition, Darstellung & Eigenschaften


Normalformel

Definition

Die Normalformel ist eine ausmultiplizierte Form der quadratischen Funktion:

f(x)=ax2+bx+cf(x)={ax}^2+bx+c
aa​:  Streckungs-/Stauchungsfaktor bb​:  keine direkt ersichtliche Bedeutung
cc​: yy​-Achsenabschnitt


Eigenschaften

STRECKUNGS-/STAUCHUNGSFAKTOR  aa

Wie bei der rein quadratischen Funktion.


yy​-ACHSENABSCHNITT 

Stelle auf der y-Achse an der die Funktion die Achse schneidet.


Mathematik; Arithmetik; 3. Sek / Bez / Real; Quadratische Funktionen: Definition, Darstellung & Eigenschaften


Vorgehen bei typischen Aufgaben

y-Achsenabschnittpunkt bestimmen

VORGEHEN

1.

Bestimme die Normalformel der quadratischen Funktion: f(x)=ax2+bx+cf(x)={ax}^2+bx+c

2.

Lese den Achsenabschnitt cc ab.

3.

Notiere den Abschnitt als Punkt: yy-Achsenabschnittpunkt: P(0c)P(0|c)​​


Beispiel

Gegeben:

f(x)=x2+x6f(x)=x^2+x-6​​


y-Achsenabschnitt:

c=6c=-6​​


y-Achsenabschnittpunkt:

P(06)P(0|-6)​​



Nullstellen bestimmen

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion kennzeichnen die Punkte, wo die Parabel die x-Achse schneidet oder berührt. Eine quadratische Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen haben.


VORGEHEN

1.

Bestimme die Normalformel der quadratischen Funktion: f(x)=ax2+bx+cf(x)={ax}^2+bx+c

2.

Setze die Funktion gleich Null: 0=ax2+bx+c0={ax}^2+bx+c

3.

Löse die quadratische Gleichung (gegebenenfalls mit der Mitternachtsformel).

Die Lösungen sind die x-Werte der Nullstellen.

4.

Falls gefragt, notiere die Stellen als Punkt: N1(x1|0)N_1\left(x_1\middle|0\right)N2(x2|0)N_2\left(x_2\middle|0\right)

 

Tipp: Der x-Wert des Scheitelpunktes liegt in der Mitte der Nullstellen: xs=x1+x22x_s=\frac{x_1+x_2}{2}


Beispiel

Gegeben:

f(x)=x2+x6f(x)=x^2+x-6​​


Löse die quadratische Gleichung: 

0=x2+x60=(x+3)(x2)0=x^2+x-6\\0=(x+3)(x-2)​​


x=3x=-3​ oder x=2x=2


Die Nullstellen der quadratischen Funktion: 

P(3|0)\underline{P\left(-3\middle|0\right)}​ und Q(2|0)\underline{Q\left(2\middle|0\right)}



Quadratische Funktion bestimmen mit drei Punkten

Gegeben sind drei Punkte auf der Funktion. Das Ziel ist, die Parameter a, b und c in der Normalformel der Funktion zu bestimmen.


VORGEHEN

1.

Setze die drei Punkte in die Normalformel ein: 

P1P_1​​
y1=ax12+bx1+cy_1={ax_1}^2+bx_1+c​​
P2P_2​​
y2=ax22+bx2+cy_2={ax_2}^2+bx_2+c​​
P3P_3​​
y3=ax32+bx3+cy_3={ax_3}^2+bx_3+c​​

2.

Löse das Gleichungssystem und bestimme die Parameter a, b und c.

3.

Setze die Werte der Parameter in die Normalformel ein.


Beispiel


Gegeben: P(14),Q(10), R(25)P(-1|-4), Q(1|0),\ R(2|5)


Setze die Punkte ein:

P:

4=ab+c-4=a-b+c​​

Q:

0=a+b+c0=a+b+c​​

R:

5=4a+2b+c5=4a+2b+c​​​​


Löse das Gleichungssystem:

4=ab+c0=a+b+c5=4a+2b+c\left|\begin{matrix}-4=a-b+c\\0=a+b+c\\5=4a+2b+c\\\end{matrix}\right|​​


Lösungen:  

a=1,b=2 und c=3a=1, b=2\ und\ c=-3​​


Normalformel: 

f(x)=x2+2x3\underline{f(x)=x^2+2x-3}​​




Erstelle ein Konto, um die Zusammenfassung zu lesen.

Übungen

Erstelle ein Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist eine quadratische Funktion?

Wie sieht der Graph einer quadratischen Funktion aus?

Was ist eine rein quadratische Funktion?

Was ist ein Scheitelpunkt?

Was ist eine Normalparabel?

Was ist die Normalformel?

Wie bestimmt man die Nullstellen in einer quadratischen Funktion?

Wie bestimmt man mit drei Punkten die quadratische Funktion?

Beta

Ich bin Vulpy, Dein AI-Lernbuddy! Lass uns zusammen lernen.