Quadratische Funktionen: Definition, Darstellung & Eigenschaften

Definition

Eine quadratische Funktion ist ein Polynom, wobei der höchste Exponent von $$x$$​ zwei ist.

$$f\left(x\right)={\ldots x}^2\ldots$$​​

Graph

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel («lachender oder weinender Smiley»).

Rein quadratische Funktion

Definition

Die rein quadratische Funktion ist die einfachste Form der quadratischen Funktion:

$$f(x)=ax^2$$​​

$$a$$​: Streckfaktor

DARSTELLUNG $$f(x)=x^2$$​

Wertetabelle	Graph
​$$x$$​​ ​$$...$$​​ ​$$-3$$​​ ​$$-2$$​​ ​$$-1$$​​ ​$$0$$​​ ​$$1$$​​ ​$$2$$​​ ​$$3$$​​ ​$$...$$​​ ​$$y$$​​ ​$$...$$​​ ​$$9$$​​ ​$$4$$​​ ​$$1$$​​ ​$$0$$​​ ​$$1$$​​ ​$$4$$​​ ​$$9$$​​ ​$$...$$​​

BEGRIFFE

Eigenschaften

ALLGEMEIN

Die Funktion ist achsensymmetisch zur $$y-$$Achse und nach oben geöffnet.

Es gilt: $$f(0)=0$$​

STRECKFAKTOr  $$a$$​

​$$a>0$$​​	​$$a<0$$​​	​$$\left|a\right|>1$$​​	​$$\left|a\right|<1$$​​
Die Parabel ist nach oben geöffnet.	Die Parabel ist nach unten geöffnet.	Streckungsfaktor in y-Richtung	Stauchungsfaktor in y-Richtung

Normalformel

Definition

Die Normalformel ist eine ausmultiplizierte Form der quadratischen Funktion:

Eigenschaften

STRECKUNGS-/STAUCHUNGSFAKTOR  $$a$$​

Wie bei der rein quadratischen Funktion.

$$y$$​-ACHSENABSCHNITT 

Stelle auf der y-Achse an der die Funktion die Achse schneidet.

Vorgehen bei typischen Aufgaben

y-Achsenabschnittpunkt bestimmen

VORGEHEN

Beispiel

Gegeben:

$$f(x)=x^2+x-6$$​​

y-Achsenabschnitt:

$$c=-6$$​​

y-Achsenabschnittpunkt:

$$P(0|-6)$$​​

Nullstellen bestimmen

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion kennzeichnen die Punkte, wo die Parabel die x-Achse schneidet oder berührt. Eine quadratische Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen haben.

VORGEHEN

Tipp: Der x-Wert des Scheitelpunktes liegt in der Mitte der Nullstellen: $$x_s=\frac{x_1+x_2}{2}$$​

Beispiel

Gegeben:

$$f(x)=x^2+x-6$$​​

Löse die quadratische Gleichung: 

$$0=x^2+x-6\\0=(x+3)(x-2)$$​​

$$x=-3$$​ oder $$x=2$$​

Die Nullstellen der quadratischen Funktion: 

$$\underline{P\left(-3\middle|0\right)}$$​ und $$\underline{Q\left(2\middle|0\right)}$$​

Quadratische Funktion bestimmen mit drei Punkten

Gegeben sind drei Punkte auf der Funktion. Das Ziel ist, die Parameter a, b und c in der Normalformel der Funktion zu bestimmen.

VORGEHEN

Beispiel

Gegeben: $$P(-1|-4), Q(1|0),\ R(2|5)$$​

Setze die Punkte ein:

Löse das Gleichungssystem:

$$\left|\begin{matrix}-4=a-b+c\\0=a+b+c\\5=4a+2b+c\\\end{matrix}\right|$$​​

Lösungen:  

$$a=1, b=2\ und\ c=-3$$​​

Normalformel: 

$$\underline{f(x)=x^2+2x-3}$$​​