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Kapitelübersicht

Lernziele

Mathematik

Nicht-lineare Funktionen: exponentielles Wachstum & Zerfall

Mathe_Sek-Gymi_04FT_02_Lineare Funktion_07_Nicht Lineare Funktionen 0

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Nicht-lineare Funktionen: exponentielles Wachstum & Zerfall

Übersicht

Lineare Funktion

LINEARES WACHSTUM	$y$ -Erhöhung um gleichen " $+$ " Operator.
LINEARES NEGATIVES WACHSTUM	$y$ -Verringerung um " $-$ " Operator.

Beispiele

Lineares Wachstum

Mathematik; Lineare und nicht lineare Funktionen; 3. Sek / Bez / Real; Nicht-lineare Funktionen: exponentielles Wachstum & Zerfall

Immer « $+3$ »

Lineares negatives Wachstum

Mathematik; Lineare und nicht lineare Funktionen; 3. Sek / Bez / Real; Nicht-lineare Funktionen: exponentielles Wachstum & Zerfall

Immer « $-2$ »

Nicht lineare Funktion

Alle Funktionen die nicht «lineare» sind.

Sonderfall:

EXPONENTIELLES WACHSTUM

y-Erhöhung um gleichen « $\cdot$ » Operator grösser 1.

EXPONENTIELLER ZERFALL

y-Verringerung um gleichen « $:$ » Operator.

oder gleichen « $\cdot$ » Operator grösser kleiner 1.

Wachstum und Zerfall in %: $«\cdot»Operator-1\cdot100=Prozent-Wachstum$

Beispiele

Exponentielles Wachstum

Mathematik; Lineare und nicht lineare Funktionen; 3. Sek / Bez / Real; Nicht-lineare Funktionen: exponentielles Wachstum & Zerfall

«Immer $\cdot2$ »

In Prozent: $\left(2-1\right)\cdot100=\underline{100\%}$

Exponentieller Zerfall

Mathematik; Lineare und nicht lineare Funktionen; 3. Sek / Bez / Real; Nicht-lineare Funktionen: exponentielles Wachstum & Zerfall

«Immer $\cdot0.5$ »

In Prozent: $\left(0.5-1\right)\cdot100=\underline{-50\%}$

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Wachstumstyp bestimmen

Bei gegebener Zahlentabelle

VORGEHEN

1.

Prüfe auf lineares Wachstum:

Bestimme die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden $y$ -Werten
Alle Differenzen gleich: Lineares Wachstum / Zerfall
Alle Differenzen nicht gleich: Nicht lineares Wachstum

Beispiel

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$4$	$12$	$36$	$108$	$...$

Differenzen:

$12-4=8$

$36-12=24$  nicht gleich

Nicht lineares Wachstum

2.

Bei nicht linearem Wachstum auf exponentielles Wachstum prüfen:

Bestimme das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden $y$ -Werten
Alle Verhältnisse gleich: Exponentielles Wachstum / Zerfall

Verhältnisse:

$\frac{12}{4}=3$

$\frac{36}{12}=3$

$\frac{108}{36}=3$

 Die Verhältnisse sind gleich

Exponentielles Wachstum

3.

Bei nicht linearem und nicht exponentiellem Wachstum:

Anhand der Differenzen oder der Verhältnisse eine Gesetzmässigkeit identifizieren

Häufige Gesetzmässigkeit:

Steigender Faktor

Mathematik; Lineare und nicht lineare Funktionen; 3. Sek / Bez / Real; Nicht-lineare Funktionen: exponentielles Wachstum & Zerfall

Nicht-lineare Funktionen: exponentielles Wachstum & Zerfall

Übersicht

Lineare Funktion

LINEARES WACHSTUM	$y$ -Erhöhung um gleichen " $+$ " Operator.
LINEARES NEGATIVES WACHSTUM	$y$ -Verringerung um " $-$ " Operator.

Beispiele

Lineares Wachstum

Mathematik; Lineare und nicht lineare Funktionen; 3. Sek / Bez / Real; Nicht-lineare Funktionen: exponentielles Wachstum & Zerfall

Immer « $+3$ »

Lineares negatives Wachstum

Mathematik; Lineare und nicht lineare Funktionen; 3. Sek / Bez / Real; Nicht-lineare Funktionen: exponentielles Wachstum & Zerfall

Immer « $-2$ »

Nicht lineare Funktion

Alle Funktionen die nicht «lineare» sind.

Sonderfall:

EXPONENTIELLES WACHSTUM

y-Erhöhung um gleichen « $\cdot$ » Operator grösser 1.

EXPONENTIELLER ZERFALL

y-Verringerung um gleichen « $:$ » Operator.

oder gleichen « $\cdot$ » Operator grösser kleiner 1.

Wachstum und Zerfall in %: $«\cdot»Operator-1\cdot100=Prozent-Wachstum$

Beispiele

Exponentielles Wachstum

Mathematik; Lineare und nicht lineare Funktionen; 3. Sek / Bez / Real; Nicht-lineare Funktionen: exponentielles Wachstum & Zerfall

«Immer $\cdot2$ »

In Prozent: $\left(2-1\right)\cdot100=\underline{100\%}$

Exponentieller Zerfall

Mathematik; Lineare und nicht lineare Funktionen; 3. Sek / Bez / Real; Nicht-lineare Funktionen: exponentielles Wachstum & Zerfall

«Immer $\cdot0.5$ »

In Prozent: $\left(0.5-1\right)\cdot100=\underline{-50\%}$

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Wachstumstyp bestimmen

Bei gegebener Zahlentabelle

VORGEHEN

1.

Prüfe auf lineares Wachstum:

Bestimme die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden $y$ -Werten
Alle Differenzen gleich: Lineares Wachstum / Zerfall
Alle Differenzen nicht gleich: Nicht lineares Wachstum

Beispiel

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$4$	$12$	$36$	$108$	$...$

Differenzen:

$12-4=8$

$36-12=24$  nicht gleich

Nicht lineares Wachstum

2.

Bei nicht linearem Wachstum auf exponentielles Wachstum prüfen:

Bestimme das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden $y$ -Werten
Alle Verhältnisse gleich: Exponentielles Wachstum / Zerfall

Verhältnisse:

$\frac{12}{4}=3$

$\frac{36}{12}=3$

$\frac{108}{36}=3$

 Die Verhältnisse sind gleich

Exponentielles Wachstum

3.

Bei nicht linearem und nicht exponentiellem Wachstum:

Anhand der Differenzen oder der Verhältnisse eine Gesetzmässigkeit identifizieren

Häufige Gesetzmässigkeit:

Steigender Faktor

Mathematik; Lineare und nicht lineare Funktionen; 3. Sek / Bez / Real; Nicht-lineare Funktionen: exponentielles Wachstum & Zerfall

Nicht weitergekommen mit der Lektion? Dann erarbeite Dir zuerst diese Grundlage:

Lineare Funktion: Definition & Darstellung

Zur Lektion

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

FAQs

Frage: Was ist lineares Wachstum?

Antwort: Das lineare Wachstum bei einer Funktion ist die y-Erhöhung um den gleichen positiven Operator (+). z.B. immer +5
Frage: Was ist lineares negatives Wachstum?

Antwort: Das lineare negative Wachstum bei einer Funktion ist die y-Verringerung um gleichen negativen Operator(-). z.B. immer -5
Frage: Was ist exponentielles Wachstum?

Antwort: Das exponentielle Wachstum bei einer Funktion ist die y-Erhöhung um den gleichen Operator (Multiplikator). z.B. immer ×5
Frage: Was ist exponentieller Zerfall?

Antwort: Das exponentielle Wachstum bei einer Funktion ist die y-Verringerungum den gleichen Operator (Divisor). z.B. immer :5
Frage: Wie prüft man lineares Wachstum?

Antwort: 1. Bestimme die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden y-Werten 2. Alle Differenzen gleich: Lineares Wachstum/Zerfall 3. Alle Differenzen nicht gleich: Nicht lineares Wachstum
Frage: Wie prüft man exponentielles Wachstum?

Antwort: 1. Bestimme das Verhältnis zwischen aufeinaderfolgenden y-Werten 2. Alle Verhältnisse gleich: Exponentielles Wachstum/Zerfall

Theorie

Übungen