Gleichungssystem mit drei Variablen lösen

Definition

Ein Gleichungssystem (GLS) ist eine Zusammenstellung von mehreren Gleichungen mit mehreren unterschiedlichen Variablen. Ziel ist es die Werte der Variablen zu berechnen, welche die Gleichung erfüllen.

Beispiel

$\begin{vmatrix}y-2x+z=1\\1+y-z=x\\3x+2y-5z=4\end{vmatrix}$

Gleichungssystem lösen mit drei Variablen

Einsetzungsverfahren

1.	Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf.
2.	Ersetze in den anderen Gleichungen die Variable durch den erhaltenen Term. Man erhält zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
3.	Löse eine der erhaltenen Gleichungen nach einer Variablen auf.
4.	Ersetze in der anderen erhaltenen Gleichung die Variable durch den erhaltenen Term.
5.	Löse die erhaltene Gleichung.
6.	Berechne durch Zurückeinsetzen die Werte der anderen Variablen.

Beispiel

$\left|\begin{matrix}2x+3y+2z=2\\x-y=10-5z\\4x=5-2y+3z\\\end{matrix}\right|$

Mathematik; Gleichungssysteme; Passerelle; Gleichungssystem mit drei Variablen lösen

Additionsverfahren

Ein Verfahren, um ein Gleichungssystem zu lösen.

VORGEHEN

1.	Gleichungen umstellen und sortieren: Alle Variablen auf die eine Seite Alle Zahlen ohne Variable auf die andere Seite Tipp: Schreibe die gleichen Variablen untereinander.
2.	Vorfaktoren einer Variablen angleichen: Multipliziere die Gleichungen so, dass der Vorfaktor einer Variablen in den ersten beiden Gleichungen gleich ist. $x=3,\ y=-2,\ z=1$
3.	Gleichungen subtrahieren: Subtrahiere gleiche Variablen und Konstanten Notiere die resultierende Gleichung
4.	Wiederhole Schritt 2. und 3. für die letzten beiden Gleichungen. Man erhält zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
5.	Löse das neue Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.
6.	Setze die Lösung die vorherige Gleichung ein, um die Lösung für die letzte Variable zu berechnen.

Beispiel

$\left|\begin{matrix}2x+3y+2z=2\\x-y=10-5z\\4x=5-2y+3z\\\end{matrix}\right|$

Mathematik; Gleichungssysteme; Passerelle; Gleichungssystem mit drei Variablen lösen

Löse das Gleichungssystem und berechne die Werte der Variablen.

$\left|\begin{matrix}5y-8z=-18\\-6y+23z=35\\\end{matrix}\right|$

Lösungen: $x=3,\ y=-2,\ z=1$