Ein Gleichungssystem (GLS) ist eine Zusammenstellung von mehreren Gleichungen mit mehreren unterschiedlichen Variablen.
Ziel ist es die Werte der Variablen zu berechnen, welche die Gleichung erfüllen.
Beispiel
y−2x=11+y=x
Grafische Lösungsmethode
Lineare Funktionen zeichnen und schneiden
Dieser Lösungsweg ist nur bei mehreren Gleichungen mit zwei Unbekannten möglich.
VORGEHEN
1.
Beide Gleichungen nach y auflösen.
2.
Beide Gleichungen jeweils als lineare Funktionen in ein Koordinatensystem einzeichnen:
y=mx+b
m:
Steigung
b:
y-Achsenschnittpunkt
3.
Schnittpunkt der Linien ablesen.
Die Werte (x und y) des Schnittpunkts sind die Lösung des Gleichungssystems.
Beispiel
y−2x=11+y=x
Auflösen nachy:
y=2x+1y=x−1
Lösung ablesen:x=−2,y=−3
Schriftliche Lösungsmethode
Je nach Gleichung bietet sich eine der Methoden mehr an. Oftmals ist vorgeschrieben, mit welcher Methode man ein Gleichungssystem lösen muss.
Gleichsetzungsverfahren
VORGEHEN
1.
Löse beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf.
2.
Setze die erhaltenen Terme gleich.
3.
Löse die Gleichung.
4.
Setze die Lösung in eine der vorherigen Gleichungen ein, um die Lösung für andere Variablen zu berechnen.
Tipp: Es ist egal in welche Gleichungen man einsetzt.
Beispiel
y−2x=11+y=x
Auflösen nachy:
y=1+2xy=x−1
Gleichsetzen:
1+2x=x−x=−21
Zurückeinsetzen:
y=1+2⋅(−2)y=−3
Lösung:x=−2,y=−3
Einsetzungsverfahren
VORGEHEN
1.
Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf.
2.
Ersetze in der anderen Gleichung die Variable durch den erhaltenen Term.
3.
Löse die erhaltene Gleichung.
4.
Setze die Lösung in die Gleichung von Schritt 1 ein, um die Lösung für die andere Variable zu berechnen.
Beispiel
0.5x=2−2y−4+y=2x
Zweite Gleichung umstellen:
y=2x+4
y ersetzen in der ersten Gleichung:
0.5x=2−2⋅(2x+4)
Gleichung lösen:
x=−34
Zurückeinsetzen:
y=2⋅(−34)+4y=34
Lösung:x=−34,y=34
Additionsverfahren
VORGEHEN
1.
Gleichungen umstellen und sortieren:
Alle Variablen auf dieeine Seite
Alle Zahlen ohne Variable auf die andere Seite
Tipp: Schreibe die gleichen Variablen untereinander.
2.
Vorfaktoren einer Variablen angleichen:
Multipliziere die Gleichungen so, dass der Vorfaktor einer Variablen in beiden Gleichungen gleich ist.
3.
Gleichungen subtrahieren:
Subtrahiere gleiche Variablen und Konstanten (eine Variable fällt nun weg)
Notiere die resultierende Gleichung
4.
Löse die erhaltene Gleichung.
5.
Setze die Lösung in eine vorherige Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu berechnen.
Tipp: Es ist egal in welche Gleichungen man einsetzt.
Beispiel
0.5x=2−2y−4+y=2x
Umstellen:
0.5x+2y=2−2x+y=4
y angleichen:
−2x+y0.5x+2y−4x+2y=4∣⋅2=2=8
Gleichungen subtrahieren:
0.5x−(−4x)+2y−2y=2−8
Gleichung lösen:
x=−34
Zurückeinsetzen:
−4+y=2⋅y=34(−34)
Lösung:x=−34,y=34
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Dauer:
Teil 1
Terme vereinfachen: Strich- & Punktrechnung
Teil 2
Gleichungen und Unbekannte: Regeln und Vorgehen beim Lösen
Teil 3
Gleichungen mit mehreren Variablen
Teil 4
Gleichungen
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Teil 5
Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen
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Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Was ist ein Gleichungssystem mit Zwei Variablen?
Ein Gleichungssystem(GLS) ist eine Zusammenstellung von mehreren Gleichungen mit mehreren unterschiedlichen Variablen. Ziel ist es die Werte der Variablen zu berechnen, welche die Gleichung erfüllen.
Wie wird ein Gleichungssystem mit zwei Variablen graphisch gelöst?
1. Beide Gleichungen nach y auflösen
2. Beide Gleichungen jeweils als lineare Funktion in ein Koordinatensystem einzeichen.
3. Schnittpunkt der Linien ablesen. Die Werte (x und y) des Schnittpunkts sind die Lösung des Gleichungssystems
Wie geht das Gleichsetzungsverfahren?
1. Löse beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf
2. Setzte die erhaltenen Terme gleich
3. Löse die Gleichung
4. Setzte die Lösung in eine der vorherigen Gleichungen ein, um die Lösung für andere Variablen zu berechnen
Wie geht das Einsetzverfahren?
1. Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf
2. Ersetze in der anderen Gleichung die Variablen durch den erhaltenen Term
3. Löse ie erhaltenen Gleichung
4. Setzte die Lösung in die Gleichung von Schritt 1 ein, um die Lösung für die andere Variable zu berechnen
Wie geht das Additionsverfahren?
1. Gleichung umstellen: Alle Variablen auf die eine Seite. Alle Zahlen ohne Variable auf die andere Seite
2. Vorfaktoren einer Variablen angleichen
3. Gleichungen subtrahieren
4. Löse die erhaltene Gleichung
5. Setzte die Lösung in eine borherige Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu berechnen
