Home

Mathematik

Gleichungssysteme

Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen

Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen

Erklärvideos

Zusammenfassung

Übungen

Lektion auswählen

Mein Buch

Select an option

Funktionen

Geraden

Lineare Funktion: Definition & Darstellung

Ähnlichkeit

Ähnliche Figuren

Ähnlichkeit von Figuren bestimmen

Kartenmassstäbe: Definition & Umrechnung

Potenzen, Wurzeln und Binome

Potenzen und Wurzeln

Wurzel: Definition, Rechenregeln & Beispiele

Potenz berechnen & Potenzgesetze

Wissenschaftliche Schreibweise grosse und kleine Zahlen

Potenzgesetze anwenden mit Beispielen

Faktorisieren

Bruchterme mit Faktorisieren

Rund ums Geld

Jahreszins und Marchzins

Jahreszins berechnen: Definition & Formeln

Marchzins berechnen: Definition & Formeln

Konsumkredit und Leasing

Konsumkredit

Geometrische Körper

Regelmässige Körper

Platonische Körper: Definition & Eigenschaften

Geometrische Körper

Prisma: Fläche & Volumen berechnen

Zylinder: Definition & Eigenschaften

Pyramide: Fläche & Volumen berechnen

Dichte: Definition & Formel

Training und Strategie

Wiederholung und Vertiefung

Geschwindigkeit Aufgaben rechnen

Satzaufgaben mit Gleichungen

Bruchgleichung ohne Variable im Nenner

Fibonacci-Folge & Pascal'sches Dreieck

Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Baumdiagramm zeichnen & Wahrscheinlichkeit bestimmen

Statistische Kennwerte: Median, Mittelwert & Spannweite

Gleichungen

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen mit mehreren Variablen

Quadratische Gleichungen lösen

Lineare Ungleichungen: Definition & Vorgehen

Gleichungssysteme

Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen

Satzaufgaben mit zwei Variablen lösen

Ungleichungssystem mit mehreren Ungleichungen

Ebene Muster / Körper im Licht

Goldener Schnitt

Goldener Schnitt: Definition & Teilungsverhältnis

Umgang mit Daten

Kombinatorik

Kombinatorik: Definition & Formeln

Erklärvideo

Lehrperson: Manuel Kant
Lehrperson: Manuel Kant
Lehrperson: Manuel Kant
Lehrperson: Manuel Kant

Erklärvideo 1

Erklärvideo 2

Erklärvideo 3

Erklärvideo 4

Zusammenfassung

Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen

Definition

Ein Gleichungssystem (GLS) ist eine Zusammenstellung von mehreren Gleichungen mit mehreren unterschiedlichen Variablen.

Ziel ist es die Werte der Variablen zu berechnen, welche die Gleichung erfüllen.


Beispiel

∣y−2x=11+y=x∣\left|\begin{matrix}y-2x=1\\1+y=x\\\end{matrix}\right|​y−2x=11+y=x​​​


Grafische Lösungsmethode

Lineare Funktionen zeichnen und schneiden

Dieser Lösungsweg ist nur bei mehreren Gleichungen mit zwei Unbekannten möglich.


VORGEHEN

1.

Beide Gleichungen nach y auflösen.

2.

Beide Gleichungen jeweils als lineare Funktionen in ein Koordinatensystem einzeichnen:

​y=mx+by=mx+by=mx+b​​

mmm​:

Steigung

bbb​:

y-Achsenschnittpunkt

3.

Schnittpunkt der Linien ablesen.

Die Werte (xxx​ und yyy​) des Schnittpunkts sind die Lösung des Gleichungssystems.


Beispiel

∣y−2x=11+y=x∣\left|\begin{matrix}y-2x=1\\1+y=x\\\end{matrix}\right|​y−2x=11+y=x​​​​

Auflösen nach y:y:y:​

∣y=2x+1y=x−1∣\left|\begin{matrix}y=2x+1\\y=x-1\\\end{matrix}\right|​y=2x+1y=x−1​​​​


Lösung ablesen: x=−2‾,y=−3‾\underline{x=-2}, \underline{y=-3}x=−2​,y=−3​​
Mathematik; Gleichungssysteme; 3. Sek / Bez / Real; Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen


Schriftliche Lösungsmethode

Je nach Gleichung bietet sich eine der Methoden mehr an. Oftmals ist vorgeschrieben, mit welcher Methode man ein Gleichungssystem lösen muss.


Gleichsetzungsverfahren

VORGEHEN

1.

Löse beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf.

2.

Setze die erhaltenen Terme gleich.

3.

Löse die Gleichung.

4.

Setze die Lösung in eine der vorherigen Gleichungen ein, um die Lösung für andere Variablen zu berechnen.

Tipp: Es ist egal in welche Gleichungen man einsetzt.


Beispiel

∣y−2x=11+y=x∣\left|\begin{matrix}y-2x=1\\1+y=x\\\end{matrix}\right|​y−2x=11+y=x​​​​

Auflösen nach y:y:y:​

∣y=1+2xy=x−1∣\left|\begin{matrix}y=1+2x\\y=x-1\\\end{matrix}\right|​y=1+2xy=x−1​​​​

Gleichsetzen:

1+2x=x−1x=−2‾\begin{aligned}1+2x=x-&1\\\underline{x=-2}&\end{aligned}1+2x=x−x=−2​​1​​​


Zurückeinsetzen:

y=1+2⋅(−2)y=−3‾y=1+2\cdot\left(-2\right)\\\underline{y=-3}y=1+2⋅(−2)y=−3​​​

Lösung: x=−2‾,y=−3‾\underline{x=-2}, \underline{y=-3}x=−2​,y=−3​​



Einsetzungsverfahren

VORGEHEN

1.

Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf.

2.

Ersetze in der anderen Gleichung die Variable durch den erhaltenen Term.

3.

Löse die erhaltene Gleichung.

4.

Setze die Lösung in die Gleichung von Schritt 1 ein, um die Lösung für die andere Variable zu berechnen.

Ein Bild, das Text enthält. Automatisch generierte Beschreibung


Beispiel

∣0.5x=2−2y−4+y=2x∣\left|\begin{matrix}0.5x=2-2y\\-4+y=2x\\\end{matrix}\right|​0.5x=2−2y−4+y=2x​​​​


Zweite Gleichung umstellen:

y=2x+4y=2x+4y=2x+4​​


yyy​ ersetzen in der ersten Gleichung:

0.5x=2−2⋅(2x+4)0.5x=2-2\cdot(2x+4)0.5x=2−2⋅(2x+4)​​


Gleichung lösen:

x=−43‾\underline{x=-\frac{4}{3}}x=−34​​​​


Zurückeinsetzen:

y=2⋅(−43)+4y=43‾y=2\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)+4\\\underline{y=\frac{4}{3}}y=2⋅(−34​)+4y=34​​​​


Lösung: x=−43‾,y=43‾\underline{x=-\frac{4}{3}}, \underline{y=\frac{4}{3}}x=−34​​,y=34​​​



Additionsverfahren

VORGEHEN

1.

Gleichungen umstellen und sortieren:

  • Alle Variablen auf die eine Seite
  • Alle Zahlen ohne Variable auf die andere Seite

Tipp: Schreibe die gleichen Variablen untereinander. 

2.

Vorfaktoren einer Variablen angleichen:

Multipliziere die Gleichungen so, dass der Vorfaktor einer Variablen in beiden Gleichungen gleich ist.

3.

Gleichungen subtrahieren:

  • Subtrahiere gleiche Variablen und Konstanten (eine Variable fällt nun weg)
  • Notiere die resultierende Gleichung

4.

Löse die erhaltene Gleichung.

5.

Setze die Lösung in eine vorherige Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu berechnen.

Tipp: Es ist egal in welche Gleichungen man einsetzt.

Ein Bild, das ClipArt enthält. Automatisch generierte Beschreibung


Beispiel

∣0.5x=2−2y−4+y=2x∣\left|\begin{matrix}0.5x=2-2y\\-4+y=2x\\\end{matrix}\right|​0.5x=2−2y−4+y=2x​​​​


Umstellen:

0.5x+2y=2−2x+y=40.5x + 2y = 2\\-2x + y = 40.5x+2y=2−2x+y=4​​


y angleichen:

−2x+y=4     ∣⋅20.5x+2y=2−4x+2y=8\begin{aligned}-2x + y &= 4 \ \ \ \ \ |\cdot2\\0.5x + 2y &= 2 \\-4x + 2y &= 8 \end{aligned}−2x+y0.5x+2y−4x+2y​=4     ∣⋅2=2=8​​​


Gleichungen subtrahieren:

0.5x−(−4x)+2y−2y=2−80.5x-\left(-4x\right)+2y-2y=2-80.5x−(−4x)+2y−2y=2−8​​


Gleichung lösen:

x=−43‾\underline{x=-\frac{4}{3}}x=−34​​​​


Zurückeinsetzen:

−4+y=2⋅(−43)y=43‾\begin{aligned}-4+y=2\cdot&\left(-\frac{4}{3}\right)\\\underline{y=\frac{4}{3}}&\end{aligned}−4+y=2⋅y=34​​​(−34​)​​​


Lösung: x=−43‾,y=43‾\underline{x=-\frac{4}{3}}, \underline{y=\frac{4}{3}}x=−34​​,y=34​​​




Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Terme vereinfachen: Strich- & Punktrechnung

Teil 1

Terme vereinfachen: Strich- & Punktrechnung

Gleichungen und Unbekannte: Regeln und Vorgehen beim Lösen

Teil 2

Gleichungen und Unbekannte: Regeln und Vorgehen beim Lösen

Gleichungen mit mehreren Variablen

Teil 3

Gleichungen mit mehreren Variablen

Gleichungen

Teil 4

Gleichungen

Abkürzung

Erziele 80% um direkt zum letzten Teil zu springen.

Optional

Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen

Teil 5

Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen

Finaler Test

Test aller vorherigen Teile, um einen Belohnungsplaneten zu erhalten.

Erstelle ein kostenloses Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein Gleichungssystem mit Zwei Variablen?

Ein Gleichungssystem(GLS) ist eine Zusammenstellung von mehreren Gleichungen mit mehreren unterschiedlichen Variablen. Ziel ist es die Werte der Variablen zu berechnen, welche die Gleichung erfüllen.

Wie wird ein Gleichungssystem mit zwei Variablen graphisch gelöst?

1. Beide Gleichungen nach y auflösen 2. Beide Gleichungen jeweils als lineare Funktion in ein Koordinatensystem einzeichen. 3. Schnittpunkt der Linien ablesen. Die Werte (x und y) des Schnittpunkts sind die Lösung des Gleichungssystems

Wie geht das Gleichsetzungsverfahren?

1. Löse beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf 2. Setzte die erhaltenen Terme gleich 3. Löse die Gleichung 4. Setzte die Lösung in eine der vorherigen Gleichungen ein, um die Lösung für andere Variablen zu berechnen

Wie geht das Einsetzverfahren?

1. Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf 2. Ersetze in der anderen Gleichung die Variablen durch den erhaltenen Term 3. Löse ie erhaltenen Gleichung 4. Setzte die Lösung in die Gleichung von Schritt 1 ein, um die Lösung für die andere Variable zu berechnen

Wie geht das Additionsverfahren?

1. Gleichung umstellen: Alle Variablen auf die eine Seite. Alle Zahlen ohne Variable auf die andere Seite 2. Vorfaktoren einer Variablen angleichen 3. Gleichungen subtrahieren 4. Löse die erhaltene Gleichung 5. Setzte die Lösung in eine borherige Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu berechnen

©2020 - 2024 evulpo AG

Beta