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Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen

Mathe_Sek-Gymi_03GL_06_Gleichungssystem_01_Zwei Variablen Lösungsverfahren 0
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Zusammenfassung

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Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen

Definition

Ein Gleichungssystem (GLS) ist eine Zusammenstellung von mehreren Gleichungen mit mehreren unterschiedlichen Variablen.

Ziel ist es die Werte der Variablen zu berechnen, welche die Gleichung erfüllen.


Beispiel

∣y−2x=11+y=x∣\left|\begin{matrix}y-2x=1\\1+y=x\\\end{matrix}\right|​


Grafische Lösungsmethode

Lineare Funktionen zeichnen und schneiden

Dieser Lösungsweg ist nur bei mehreren Gleichungen mit zwei Unbekannten möglich.


VORGEHEN

1.

Beide Gleichungen nach y auflösen.

2.

Beide Gleichungen jeweils als lineare Funktionen in ein Koordinatensystem einzeichnen:

​y=mx+by=mx+b​​

mm​:

Steigung

bb​:

y-Achsenschnittpunkt

3.

Schnittpunkt der Linien ablesen.

Die Werte (xx​ und yy​) des Schnittpunkts sind die Lösung des Gleichungssystems.


Beispiel

∣y−2x=11+y=x∣\left|\begin{matrix}y-2x=1\\1+y=x\\\end{matrix}\right|​​

Auflösen nach y:y:​

∣y=2x+1y=x−1∣\left|\begin{matrix}y=2x+1\\y=x-1\\\end{matrix}\right|​​


Lösung ablesen: x=−2‾,y=−3‾\underline{x=-2}, \underline{y=-3}​
Mathematik; Gleichungssysteme; 3. Sek / Bez / Real; Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen


Schriftliche Lösungsmethode

Je nach Gleichung bietet sich eine der Methoden mehr an. Oftmals ist vorgeschrieben, mit welcher Methode man ein Gleichungssystem lösen muss.


Gleichsetzungsverfahren

VORGEHEN

1.

Löse beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf.

2.

Setze die erhaltenen Terme gleich.

3.

Löse die Gleichung.

4.

Setze die Lösung in eine der vorherigen Gleichungen ein, um die Lösung für andere Variablen zu berechnen.

Tipp: Es ist egal in welche Gleichungen man einsetzt.


Beispiel

∣y−2x=11+y=x∣\left|\begin{matrix}y-2x=1\\1+y=x\\\end{matrix}\right|​​

Auflösen nach y:y:​

∣y=1+2xy=x−1∣\left|\begin{matrix}y=1+2x\\y=x-1\\\end{matrix}\right|​​

Gleichsetzen:

1+2x=x−1x=−2‾\begin{aligned}1+2x=x-&1\\\underline{x=-2}&\end{aligned}​​


Zurückeinsetzen:

y=1+2⋅(−2)y=−3‾y=1+2\cdot\left(-2\right)\\\underline{y=-3}​​

Lösung: x=−2‾,y=−3‾\underline{x=-2}, \underline{y=-3}​



Einsetzungsverfahren

VORGEHEN

1.

Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf.

2.

Ersetze in der anderen Gleichung die Variable durch den erhaltenen Term.

3.

Löse die erhaltene Gleichung.

4.

Setze die Lösung in die Gleichung von Schritt 1 ein, um die Lösung für die andere Variable zu berechnen.
Ein Bild, das Text enthält. Automatisch generierte Beschreibung


Beispiel

∣0.5x=2−2y−4+y=2x∣\left|\begin{matrix}0.5x=2-2y\\-4+y=2x\\\end{matrix}\right|​​


Zweite Gleichung umstellen:

y=2x+4y=2x+4​​


yy​ ersetzen in der ersten Gleichung:

0.5x=2−2⋅(2x+4)0.5x=2-2\cdot(2x+4)​​


Gleichung lösen:

x=−43‾\underline{x=-\frac{4}{3}}​​


Zurückeinsetzen:

y=2⋅(−43)+4y=43‾y=2\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)+4\\\underline{y=\frac{4}{3}}​​


Lösung: x=−43‾,y=43‾\underline{x=-\frac{4}{3}}, \underline{y=\frac{4}{3}}​



Additionsverfahren

VORGEHEN

1.

Gleichungen umstellen und sortieren:

  • Alle Variablen auf die eine Seite
  • Alle Zahlen ohne Variable auf die andere Seite

Tipp: Schreibe die gleichen Variablen untereinander. 

2.

Vorfaktoren einer Variablen angleichen:

Multipliziere die Gleichungen so, dass der Vorfaktor einer Variablen in beiden Gleichungen gleich ist.

3.

Gleichungen subtrahieren:

  • Subtrahiere gleiche Variablen und Konstanten (eine Variable fällt nun weg)
  • Notiere die resultierende Gleichung

4.

Löse die erhaltene Gleichung.

5.

Setze die Lösung in eine vorherige Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu berechnen.

Tipp: Es ist egal in welche Gleichungen man einsetzt.
Ein Bild, das ClipArt enthält. Automatisch generierte Beschreibung


Beispiel

∣0.5x=2−2y−4+y=2x∣\left|\begin{matrix}0.5x=2-2y\\-4+y=2x\\\end{matrix}\right|​​


Umstellen:

0.5x+2y=2−2x+y=40.5x + 2y = 2\\-2x + y = 4​​


y angleichen:

−2x+y=4     ∣⋅20.5x+2y=2−4x+2y=8\begin{aligned}-2x + y &= 4 \ \ \ \ \ |\cdot2\\0.5x + 2y &= 2 \\-4x + 2y &= 8 \end{aligned}​​


Gleichungen subtrahieren:

0.5x−(−4x)+2y−2y=2−80.5x-\left(-4x\right)+2y-2y=2-8​​


Gleichung lösen:

x=−43‾\underline{x=-\frac{4}{3}}​​


Zurückeinsetzen:

−4+y=2⋅(−43)y=43‾\begin{aligned}-4+y=2\cdot&\left(-\frac{4}{3}\right)\\\underline{y=\frac{4}{3}}&\end{aligned}​​


Lösung: x=−43‾,y=43‾\underline{x=-\frac{4}{3}}, \underline{y=\frac{4}{3}}​




Häufig gestellte Fragen (FAQ)

FAQs

  • Frage: Was ist ein Gleichungssystem mit Zwei Variablen?

    Antwort: Ein Gleichungssystem(GLS) ist eine Zusammenstellung von mehreren Gleichungen mit mehreren unterschiedlichen Variablen. Ziel ist es die Werte der Variablen zu berechnen, welche die Gleichung erfüllen.

  • Frage: Wie wird ein Gleichungssystem mit zwei Variablen graphisch gelöst?

    Antwort: 1. Beide Gleichungen nach y auflösen 2. Beide Gleichungen jeweils als lineare Funktion in ein Koordinatensystem einzeichen. 3. Schnittpunkt der Linien ablesen. Die Werte (x und y) des Schnittpunkts sind die Lösung des Gleichungssystems

  • Frage: Wie geht das Gleichsetzungsverfahren?

    Antwort: 1. Löse beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf 2. Setzte die erhaltenen Terme gleich 3. Löse die Gleichung 4. Setzte die Lösung in eine der vorherigen Gleichungen ein, um die Lösung für andere Variablen zu berechnen

  • Frage: Wie geht das Einsetzverfahren?

    Antwort: 1. Löse eine der Gleichungen nach einer Variablen auf 2. Ersetze in der anderen Gleichung die Variablen durch den erhaltenen Term 3. Löse ie erhaltenen Gleichung 4. Setzte die Lösung in die Gleichung von Schritt 1 ein, um die Lösung für die andere Variable zu berechnen

  • Frage: Wie geht das Additionsverfahren?

    Antwort: 1. Gleichung umstellen: Alle Variablen auf die eine Seite. Alle Zahlen ohne Variable auf die andere Seite 2. Vorfaktoren einer Variablen angleichen 3. Gleichungen subtrahieren 4. Löse die erhaltene Gleichung 5. Setzte die Lösung in eine borherige Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu berechnen

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