Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen

Definition

Ein Gleichungssystem (GLS) ist eine Zusammenstellung von mehreren Gleichungen mit mehreren unterschiedlichen Variablen.

Ziel ist es die Werte der Variablen zu berechnen, welche die Gleichung erfüllen.

Beispiel

$$\left|\begin{matrix}y-2x=1\\1+y=x\\\end{matrix}\right|$$​

Grafische Lösungsmethode

Lineare Funktionen zeichnen und schneiden

Dieser Lösungsweg ist nur bei mehreren Gleichungen mit zwei Unbekannten möglich.

VORGEHEN

Beispiel

$$\left|\begin{matrix}y-2x=1\\1+y=x\\\end{matrix}\right|$$​​ Auflösen nach $$y:$$​ $$\left|\begin{matrix}y=2x+1\\y=x-1\\\end{matrix}\right|$$​​ Lösung ablesen: $$\underline{x=-2}, \underline{y=-3}$$​

Schriftliche Lösungsmethode

Je nach Gleichung bietet sich eine der Methoden mehr an. Oftmals ist vorgeschrieben, mit welcher Methode man ein Gleichungssystem lösen muss.

Gleichsetzungsverfahren

VORGEHEN

Beispiel

$$\left|\begin{matrix}y-2x=1\\1+y=x\\\end{matrix}\right|$$​​

Auflösen nach $$y:$$​

$$\left|\begin{matrix}y=1+2x\\y=x-1\\\end{matrix}\right|$$​​

Gleichsetzen:

$$\begin{aligned}1+2x=x-&1\\\underline{x=-2}&\end{aligned}$$​​

Zurückeinsetzen:

$$y=1+2\cdot\left(-2\right)\\\underline{y=-3}$$​​

Lösung: $$\underline{x=-2}, \underline{y=-3}$$​

Einsetzungsverfahren

VORGEHEN

Beispiel

$$\left|\begin{matrix}0.5x=2-2y\\-4+y=2x\\\end{matrix}\right|$$​​

Zweite Gleichung umstellen:

$$y=2x+4$$​​

$$y$$​ ersetzen in der ersten Gleichung:

$$0.5x=2-2\cdot(2x+4)$$​​

Gleichung lösen:

$$\underline{x=-\frac{4}{3}}$$​​

Zurückeinsetzen:

$$y=2\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)+4\\\underline{y=\frac{4}{3}}$$​​

Lösung: $$\underline{x=-\frac{4}{3}}, \underline{y=\frac{4}{3}}$$​

Additionsverfahren

VORGEHEN

Beispiel

$$\left|\begin{matrix}0.5x=2-2y\\-4+y=2x\\\end{matrix}\right|$$​​

Umstellen:

$$0.5x + 2y = 2\\-2x + y = 4$$​​

y angleichen:

$$\begin{aligned}-2x + y &= 4 \ \ \ \ \ |\cdot2\\0.5x + 2y &= 2 \\-4x + 2y &= 8 \end{aligned}$$​​

Gleichungen subtrahieren:

$$0.5x-\left(-4x\right)+2y-2y=2-8$$​​

Gleichung lösen:

$$\underline{x=-\frac{4}{3}}$$​​

Zurückeinsetzen:

$$\begin{aligned}-4+y=2\cdot&\left(-\frac{4}{3}\right)\\\underline{y=\frac{4}{3}}&\end{aligned}$$​​

Lösung: $$\underline{x=-\frac{4}{3}}, \underline{y=\frac{4}{3}}$$​