Lineare Ungleichungen: Definition & Vorgehen

Definition

Eine Ungleichung setzt zwei mathematische Grössen (Zahlen oder Terme) zueinander in ein Verhältnis. Der eine Terme ist grösser(-gleich) oder kleiner(-gleich) als der andere Term.

Beispiele

$9<3x\\\\2\geq x+1$

Relationszeichen

$<$	Links kleiner als rechts	$\le$	Links kleiner oder gleich rechts
$>$	Links grösser als rechts	$\geq$	Links grösser oder gleich rechts

Ungleichung lösen

Alle möglichen Zahlen bestimmen

Gesucht sind alle Werte der Variable, welche die Ungleichung erfüllen. Die Lösung ist meist ein Bereich von Zahlen.

VORGEHEN

1.	Ersetze das Ungleichzeichen mit einem Gleichzeichen.
2.	Löse die Gleichung wie gewohnt.
3.	Bestimme den Lösungsbereich: Setze eine Zahl kleiner als das Ergebnis in die Ungleichung ein. Aussage stimmt: Zahlenbereich unterhalb des Ergebnisses ist die Lösung. Aussage stimmt nicht: Zahlenbereich oberhalb des Ergebnisses ist die Lösung. *Hinweis:* Dem entsprechend Ungleichzeichen der Ungleichung anpassen.
4.	Zeichne die Lösung im Zahlenstrahl ein. Ergebnis markieren: a. Bei $<\ und\ >:$ Leeren Kreis b. Bei $\le\ und\ \geq:$ Gefüllten Kreis Strich über den erlaubten Zahlenbereich einzeichnen.

Beispiel

$9x+2<7x+6$

Ungleichzeichen ersetzen:

$9x+2=7x+6$

Gleichung lösen:

$2x=4\\\underline{x=2}$

Teste $x=0$ :

$\begin{aligned}9\cdot0+2&<7\cdot0+6\\2&<6\end{aligned}$

Aussage stimmt.

Der Zahlenbereich unter erfüllt die Ungleichung: $x<2$

Bei $x=2$ einen Kreis und eine Linie für den Zahlenbereich unter $x=2$ einzeichnen:

Mathematik; Gleichungen und Ungleichungen; 3. Sek / Bez / Real; Lineare Ungleichungen: Definition & Vorgehen