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Gleichungen und Ungleichungen

Quadratische Gleichungen lösen

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Lehrperson: Manuel Kant

Zusammenfassung

Quadratische Gleichungen lösen

Definition

Bei der quadratischen Gleichung steht die gesuchte Variable im Quadrat: x2x^2

Eine quadratische Gleichung kann zwei, eine oder keine Lösung haben.


Beispiel
 x24x+4=0x^2-4x+4=0



Vorgehen beim Lösen

Direkt ausrechnen

Hilfreich bei Termen, die nur x2x^2 und eine Zahl haben.

VORGEHEN

1.

 x2x^2 alleine auf eine Seite bringen

2.

Wurzel ziehen.

Beachte: Es gibt zwei Lösungen, «+» und «-»


Tipp: Hat man unter der Wurze eine Negative Zahl, so gibt es keine Lösung.


Beispiel
x216=0+16x2=16±x1=4x2=4\begin{aligned}x^2-16 &= 0 |+16\\x^2 &= 16 |\pm\sqrt\ldots\\x_1&=4 x_2=-4 \\\end{aligned}​​

Faktorisieren

Hilfreich bei Termen, welche man leicht Faktorisieren kann.

VORGEHEN

1.

Nullgleichung erstellen.

Alles auf eine Seite bringen.

2.

Term Faktorisieren durch:

  • Ausklammern
  • Binomische Formel
  • Zweiklammeransatz

3.

Faktoren (Klammern) einzeln gleich Null setzen.

4.

Lösung jeder einzelnen Gleichung berechnen.


Beispiel
x2+8=2x   2xx22x8=0\begin{aligned}x^2+8 &= 2x \ \ \ |-2x\\x^2-2x-8 &= 0 \end{aligned}​​


Zweiklammeransatz:

(x4)(x+2)=0\begin{aligned}\left(x-4\right)\left(x+2\right) = 0\end{aligned}​​


Einzeln gleich Null.

x4=0x=4x+2=0x=2\begin{aligned}x-4 = 0\\x = 4\\ x+2 = 0\\x = -2\end{aligned}​​




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein Koeffizient?

Was ist eine reinquadratische Gleichung?

Was ist eine quadratische Gleichung?

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