Logarithmusterme: Rechenregeln & Beispiele Rechenregeln Übersicht MULTIPLIKATION
l o g a ( x ⋅ y ) = l o g a x + l o g a y {log}_a{(x\cdot y)}={log}_a{x}+{log}_a{y} l o g a ( x ⋅ y ) = l o g a x + l o g a y
DIVISION
l o g a ( x ∶ y ) = l o g a ( x y ) = l o g a x − l o g a y {log}_a{(x∶y)}={log}_a{\left(\frac{x}{y}\right)}={log}_a{x}-{log}_a{y} l o g a ( x ∶ y ) = l o g a ( y x ) = l o g a x − l o g a y
POTENZ
l o g a ( x r ) = r ⋅ l o g a ( x ) {log}_a{(x^r)}=r\cdot{log}_a{(x)} l o g a ( x r ) = r ⋅ l o g a ( x )
WURZELN
l o g a ( x r ) = l o g a ( x 1 / r ) = l o g a ( x ) r {log}_a{\left(\sqrt[r]{x}\right)}={log}_a{(x^{1/r})}=\frac{{log}_a{(x)}}{r} l o g a ( r x ) = l o g a ( x 1/ r ) = r l o g a ( x )
LOG VON 1
l o g a ( 1 ) = 0 {log}_a{(1)}=0 l o g a ( 1 ) = 0
LOG VON BASIS
l o g a ( a ) = 1 {log}_a{(a)}=1 l o g a ( a ) = 1
l o g a ( a n ) = n {log}_a{(a^n)}=n l o g a ( a n ) = n
Logarithmusterme umwandeln Logarithmusterme zusammenfassen Das Ziel ist, den gegebenen Term so kurz wie möglich zu machen.
VORGEHEN 1.
Schreibe die Faktoren und Teiler am Logarithmus als Potenzen im Logarithmus.
2.
Vereinfache die Terme im Logarithmus.
3.
Fasse die einzelnen Logarithmen zusammen und vereinfache erneut.
Hinweis: Um eine Addition oder Subtraktion in einen einzelnen Logarithmus umzuwandeln, müssen beide Terme dieselbe Basis haben.
Beispiel l o g a ( 27 ) 3 − 2 ⋅ l o g a ( 3 ) \frac{{log}_a{(27)}}{3}-2\cdot{log}_a{\left(3\right)} 3 l o g a ( 27 ) − 2 ⋅ l o g a ( 3 )
Innerhalb des Logarithmus:
= l o g a ( 27 1 / 3 ) − l o g a ( 3 2 ) ={log}_a{({27}^{1/3})}-{log}_a{\left(3^2\right)} = l o g a ( 27 1/3 ) − l o g a ( 3 2 )
Vereinfache:
= l o g a ( 3 ) − l o g a ( 9 ) ={log}_a{(3)}-{log}_a{\left(9\right)} = l o g a ( 3 ) − l o g a ( 9 )
Fasse zusammen:
= l o g a ( 3 9 ) ={log}_a{\left(\frac{3}{9}\right)} = l o g a ( 9 3 )
Vereinfache:
= l o g a ( 1 3 ) ={log}_a{\left(\frac{1}{3}\right)} = l o g a ( 3 1 )
Logarithmusterme auftrennen Das Ziel ist, den Logarithmus als Summe oder Produkt einfacherer Logarithmen zu schreiben.
VORGEHEN 1.
Wandle Multiplikationen und Divisionen im Logarithmus um zu Addition oder Subtraktion von mehreren Logarithmen.
2.
Schreibe Potenzen innerhalb des Logarithmus als Faktoren und Teiler am Logarithmus.
Tipp: Notiere eine Wurzel als Potenz.
3.
Vereinfache falls möglich jeden Logarithmus.
Beispiel l o g x ( x 3 y z ) {log}_x{\left(\frac{x^3y}{\sqrt z}\right)} l o g x ( z x 3 y )
Trenne den Logarithmus:
= l o g x ( x 3 ) + l o g x ( y ) − l o g x ( z 1 / 2 ) ={log}_x{(x^3)}+{log}_x{\left(y\right)}-{log}_x{\left(z^{1/2}\right)} = l o g x ( x 3 ) + l o g x ( y ) − l o g x ( z 1/2 )
Nehme die Potenzen heraus:
= 3 ⋅ l o g x ( x ) + l o g x ( y ) − 1 2 ⋅ l o g x ( z ) =3\cdot{log}_x{\left(x\right)}+{log}_x{\left(y\right)}-\frac{1}{2}\cdot{log}_x{\left(z\right)} = 3 ⋅ l o g x ( x ) + l o g x ( y ) − 2 1 ⋅ l o g x ( z )
Vereinfache:
= 3 ⋅ 1 + l o g x ( y ) − 1 2 ⋅ l o g x ( z ) = 3 + l o g x ( y ) − 1 2 ⋅ l o g x ( z ) =3\cdot1+{log}_x{\left(y\right)}-\frac{1}{2}\cdot{log}_x{\left(z\right)}=3+{log}_x{\left(y\right)}-\frac{1}{2}\cdot{log}_x{\left(z\right)} = 3 ⋅ 1 + l o g x ( y ) − 2 1 ⋅ l o g x ( z ) = 3 + l o g x ( y ) − 2 1 ⋅ l o g x ( z )
