Zahlensysteme: Definition & Umrechnung

Definition

Zahlensysteme dienen zur Darstellung von Zahlen. Eine Zahl wird dabei aus einer oder mehreren Ziffern zusammengestellt.

Im Alltag verwendet man meist das Zehnersystem (auch Dezimalsystem). Dabei werden Zahlen mit zehn verschiedenen Ziffern dargestellt: $$0,\ 1,\ ...,\ 9$$​

Typische Zahlensysteme

Jedes Zahlensystem hat eine Basis $$b$$​, die angibt, wie viele verschiedene Ziffern in dem Zahlensystem vorkommen. Eine Zahl besteht aus diesen Ziffern.

Hinweis 1: Die Fussnote an einer Zahl gibt das verwendete Zahlensystem an.

Hinweis 2: Bei Systemen mit einer Basis über 10 verwendet man Buchstaben für die Ziffern nach 9. Dabei hat A den Wert 10, B den Wert 11 usw.

Häufige Anwendungen

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Umrechnung zwischen Zahlensystemen

Umrechnung ins Dezimalsystem

Gegeben ist eine Zahl aus einem beliebigen Zahlensystem, die ins Dezimalsystem umgerechnet werden soll.

VORGEHEN

Umrechnung vom Dezimalsystem in anderes Zahlensystem

Gegeben ist eine Zahl im Dezimalsystem, die in ein anderes Zahlensystem mit Basis $$b$$ umgerechnet werden soll.

VORGEHEN

Beispiel 1: $${935}_{(10)}$$​ ins Hexadezimalsystem

Neue Basis: $$b=16$$​​

Teilen mit Rest: 

Zahl im Hexadezimalsystem: $${935}_{(10)}={3A7}_{(16)}$$​​

Beispiel 2: $${67}_{(10)}$$​ ins Binärsystem

Neue Basis: $$b=2$$​

Teilen mit Rest:

Zahlen im Binärsystem: $${67}_{(10)}={1000011}_{(2)}$$​​

Allgemeines Umrechnen

Um Zahlen von einem beliebigen Zahlensystem in ein anderes umzurechnen, kann man einen Zwischenschritt über das Dezimalsystem machen.

Beispiel: $${104}_{(5)}$$ ins Binärsystem

Rechne $${104}_{(5)}$$ ins Dezimalsystem um: $$4\cdot5^0+0\cdot5^1+2\cdot5^2={29}_{(10)}$$​

Rechne $${29}_{(10)}$$ ins Binärsystem um:

Zahl im Binärsystem: $${29}_{(10)}=\ {11101}_{(2)}$$​​