Zufall, Zufallsexperiment und Wahrscheinlichkeit

Begriffe 

• Zufall: Etwas, das nicht vorhersehbar ist.
• Zufallsexperiment: Experimente (z. B. auch Spiele), deren Ergebnis zufällig ist. 
• Wahrscheinlichkeit: Gibt die Chance an, dass ein bestimmtes Ergebnis eintrifft. 

Typische Zufallsexperimente 

​Münzwurf

Zufallsergebnisse sind gleich wahrscheinliche Ergebnisse: Kopf oder Zahl.​

Würfelwurf

​Zufallsergebnisse sind gleich wahrscheinliche Ergebnisse: $$1, 2, 3, 4, 5$$​​ oder $$6$$​.​

Urne oder Beutel

​Zufallsergebnisse sind meist nicht gleich. Je mehr Kugeln von einer Sorte vorhanden sind, desto wahrscheinlicher ist es diese zu ziehen.​

Glücksrad

​Zufallsergebnisse sind meist ungleich wahrscheinliche Ergebnisse: hier ist das Ergebnis $$\$ \$$$​ doppelt so wahrscheinlich wie $$0$$​ oder $$\$$$​. Wenn alle Ergebnisse eine gleich große Fläche auf dem Glücksrad hätten, wären die Ergebnisse gleich wahrscheinlich.

Zufallsexperiment untersuchen 

Oftmals musst Du Zufallsexperimente selbst ausführen und untersuchen, was passiert. Erstell Dir dabei eine Tabelle, in der Du das Ergebnis von jeder Durchführung auflistest. 

Beispiel 

Eine Münze wird $$30$$​ Mal geworfen und Du zählst, wie oft Du Kopf oder Zahl erhältst. Dieser Vorgang wird fünf Mal wiederholt. 

Du kannst nicht vorhersehen, ob Kopf oder Zahl geworfen wird. Das Ergebnis ist zufällig.
Wird das Experiment häufig wiederholt, wird Kopf und Zahl in etwa gleich oft geworfen. Die Wahrscheinlichkeiten von Kopf und Zahl sind also gleich groß. 

Sicheres Ereignis

Ein Ereignis, das auf jeden Fall eintreten wird. 

Beispiel

Beim Würfeln mit einem normalen Spielwürfel wird eine Zahl geworfen, die kleiner als sieben ist. 

Mögliches Ereignis

Ein Ereignis, das eintreten kann, aber nicht muss. 

Beispiel

Beim Würfeln mit einem normalen Spielwürfel wird eine Zahl geworfen, die kleiner als vier ist. 

Unmögliches Ereignis

Ein Ereignis, das auf keinen Fall eintreten wird. 

Beispiel

Beim Würfeln mit einem normalen Spielwürfel wird eine Zahl geworfen, die größer als sieben ist.

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Erwartungswert - Wie oft wird ein Ergebnis vorkommen?

Ein Zufallsexperiment soll sehr oft wiederholt werden. Man soll erahnen, wie oft ein Ergebnis erscheinen wird.

VORGEHEN

1. ​Bestimme, wie wahrscheinlich es ist, dass das gesuchte Ergebnis bei einem Versuch erscheint. Notieren die Wahrscheinlichkeit als Bruchanteil.
   
2. Multipliziere den Bruchanteil mit der Anzahl der Versuchswiederholungen.

Beispiele

Münze

Eine Münze wird 30-mal geworfen. Wie oft erscheint Kopf?

Wahrscheinlichkeit von Kopf: 

$$\frac12$$​​

Erwartungswert: 

$$\frac{1}{2}\cdot30=\underline{15}$$​​

Würfel

Ein 6-seitiger Würfelwird wird 30-mal geworfen. Wie oft erscheint die 6?

Wahrscheinlichkeit von 6:

$$\frac16$$​​

Erwartungswert:

$$\frac{1}{6}\cdot30=\underline{5}$$​​

Was ist wahrscheinlicher?

Oftmals werden hier mehrere Zufallsexperimente verknüpft. Zum Beispiel:

• Drei Münzen werden geworfen.
• Eine Person trifft bei mehreren Kreuzungen zufällig die Entscheidung, ob sie links oder rechts weiter geht

VORGEHEN

1. ​Stelle eine Liste/Tabelle mit allen Möglichkeiten auf.
   
2. Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten:
   Ergebnisse mit mehr Möglichkeiten sind wahrscheinlicher.

Beispiel

Drei Münzen werden geworfen. Was ist wahrscheinlicher?

• Dreimal Kopf
• Einmal Kopf, Zweimal Zahl

Stelle eine Liste/Tabelle mit allen Möglichkeiten auf.

KKK, KKZ, KZK, ZKK, KZZ, ZZZ, ZZK, ZKZ

Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten: Ergebnisse mit mehr Möglichkeiten sind wahrscheinlicher

Dreimal Kopf: 1 von 8  $$\frac18$$​

Einmal Kopf, Zweimal Zahl: 3 von 8  $$\frac38$$​

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