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Figuren vergrössern und verkleinern: Rechnen mit Massstab

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Weiterführende Übungen zum Sachrechnen

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Erklärvideo

Zusammenfassung

Figuren vergrössern und verkleinern: Rechnen mit Massstab

Verkleinern und Vergrössern

Verkleinert oder vergrössert man die Grösse eines Objektes aus der Wirklichkeit erhält man ein Bild von dem Objekt. Dabei werden alle Längen gleich (proportional) verändert.


Beispiel - für Wirklichkeit und Bild:
  • Objekte in der Wirklichkeit: Gegenstand, Form, Landschaft, Räume
  • Bild des Objektes: Karte, Plan


Beispiel - für Längen

Ein Rechteck mit Seitenlängen 4 cm4\,cm4cm​ und 5 cm5\,cm5cm​ soll vergrössert werden. Die kürzere Seite soll danach im Bild 8 cm8\,cm8cm​ messen. Entsprechend ist die längere Seite im Rechteck im Bild dann 10 cm10\,cm10cm​.


Wirklichkeit

Bild

Breite: 4 cm4\,cm4cm​

Länge: 5 cm5\,cm5cm​

Breite: 8 cm8\,cm8cm​

Länge: 10 cm10\,cm10cm​



Massstab

Definition

Ein Massstab gibt an, wie stark etwas verkleinert oder vergrössert wurde.

  • Verkleinerung: Der Massstab 1:41:41:4​ bedeutet, dass 1cm1cm1cm​ in der Wirklichkeit 14\frac1441​​ im Bild ist.
  • Vergrösserung: Der Massstab 4:14:14:1​ bedeutet, dass 1cm1cm1cm​ in der Wirklichkeit 4 cm4\,cm4cm​ im Bild ist.


Beispiel:

Länge des Zimmers

Breite des Zimmers

Wirklichkeit

​5 m5\,m5m​​

​6 m6\,m6m​​

Bild

​15 m15\,m15m​​

​1.5 m1.5\,m1.5m​​

Massstab

​3:13:13:1​​

​1:41:41:4​​​


Proportionalitätsfaktor

Das Verhältnis von der Länge in Wirklichkeit zur Länge im Bild nennt man Proportionalitätsfaktor:

La¨nge in WirklichkeitLa¨nge im Bild\frac{Länge\ in\ Wirklichkeit}{Länge\ im\ Bild}La¨nge im BildLa¨nge in Wirklichkeit​​​


Der Proportionalitätsfaktor für den Massstab 3:13:13:1​ ist 13\frac1331​​, vom Massstab 1:21:21:2​ ist 222​.



Längen oder Massstab berechnen

Figuren verkleinern

Verkleinere die Figur im Massstab 1:41:41:4​.


VORGEHEN

1.

Bestimme die Längen in der Figur (Wirklichkeit) und teile alle durch 4.

2.

Zeichne die neue Figur (Bild) mit den verkleinerten Längen. 

​

Figuren vergrössern

Verkleinere die Figur im Massstab 3:13:13:1​.


VORGEHEN

1.

Bestimme die Längen in der Figur und rechne alle mal 3. (Wirklichkeit)

2.

Zeichne die neue Figur mit den vergrösserten Längen. (Bild)

​

Massstab bestimmen

Bestimme den Massstab zwischen der Länge in Wirklichkeit und der Bildlänge.


VORGEHEN

1.

Bestimme zwei zusammenhängende Längen:

Eine Länge aus der Wirklichkeit und die zugehörige Länge aus dem Bild.

2.

Teile die grössere Länge durch die kleinere Länge.

3.

Notiere den Massstab:

  • Vergrösserung: berechnete Zahl ∶1berechnete\ Zahl\ ∶1berechnete Zahl ∶1​
  • Verkleinerung: 1 ∶ berechnete Zahl 1\ ∶\ berechnete\ Zahl\ 1 ∶ berechnete Zahl ​



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Massstab: Flächen verkleinern und vergrössern

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Figuren vergrössern und verkleinern: Rechnen mit Massstab

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist ein Massstab in Mathe?

Ein Massstab gibt an, wie stark etwas verkleinert oder vergrössert wurde. • Verkleinerung: Der Massstab 1 ∶ 4 bedeutet, dass 1 cm in der Wirklichkeit ! cm im Bild ist. • Vergrösserung: Der Massstab 4 ∶ 1 bedeutet, dass 1 cm in der Wirklichkeit 4 cm im Bild ist.

Was ist ein Proportionalitätsfaktor?

Das Verhältnis von der Länge in Wirklichkeit zur Länge im Bild nennt man Proportionalitätsfaktor: 𝐿ä𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑊𝑖𝑟𝑘𝑙𝑖𝑐h𝑘𝑒𝑖𝑡 𝐿ä𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑚 𝐵𝑖𝑙𝑑 Der Proportionalitätsfaktor für den Massstab 3 ∶ 1 ist !, vom Massstab 1 ∶ 2 ist 2.

Wie geht man vor, wenn man Figuren verkleinert?

1. Bestimme die Längen in der Figur (Wirklichkeit) und teile alle durch 4(Beispielsfaktor). 2. Zeichne die neue Figur (Bild) mit den verkleinerten Längen. Wie geht man vor, wenn man Figuren vergrössert? 1. Bestimme die Längen in der Figur und rechne alle mal 3(Beispielsfaktor). (Wirklichkeit) 2. Zeichne die neue Figur mit den vergrösserten Längen. (Bild) Wie bestimmt man den Massstab? 1. Bestimme zwei zusammenhängende Längen: Eine Länge aus der Wirklichkeit und die zugehörige Länge aus dem Bild. 2. Teile die grössere Länge durch die kleinere Länge. 3. Notiere den Massstab: • Vergrösserung: 𝑏𝑒𝑟𝑒𝑐h𝑛𝑒𝑡𝑒 𝑍𝑎h𝑙 ∶ 1 • Verkleinerung: 1 ∶ 𝑏𝑒𝑟𝑒𝑐h𝑛𝑒𝑡𝑒 𝑍𝑎h𝑙

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