Es können sowohl Vektoren als auch Punkte transformiert werden. Wird ein Punkt transformiert, so transformiert man eigentlich den Vektor zwischen dem Ursprung und dem Punkt. Der transformierte Punkt befindet sich dann an der Spitze des transformierten Vektors.
Für folgende Abbildungen existiert immer eine AbbildungsmatrixA.
Transformationen
Typ
Beispiel
Vektor: v=(21)
Beispiel
Punkt: B(3∣5)
Drehung um 90°
Drehung um 90° im...
Uhrzeigersinn:
Es gilt: A=(0−110)
Gegenuhrzeigersinn:
Es gilt: A′=(01−10)
um den Anfangspunkt des Vektors bei Vektoren oder um den Ursprung bei Punkten.
A⋅v=(−12)
A′⋅v=(1−2)
A⋅0B=(−35)
A′⋅0B=(3−5)
Drehung 180°
Drehung um 180°:
Es gilt: A=(−100−1)
um den Anfangspunkt des Vektors bei Vektoren oder um den Ursprung bei Punkten.
A⋅v=(−2−1)
A⋅0B=(−5−3)
Spiegelung Horizontal
Der Vektor wird horizontal gespiegelt.
Es gilt: A=(−1001)
Die Referenzachse bildet die y-Achse.
A⋅v=(2−1)
A⋅0B=(5−3)
Spiegelung Vertikal
Der Vektor wird vertikal gespiegelt.
Es gilt: A=(100−1)
Die Referenzachse bildet die x-Achse.
A⋅v=(−21)
A⋅0B=(−53)
Streckung
Der Vektor wird um einen Streckfaktor d gestreckt oder gestaucht.
Es gilt: A=(d00d)
d=2
A⋅v=(42)
d=2
A⋅0B=(106)
Kombination von linearen Abbildungen
Werden mehrere aufeinanderfolgende Transformationen durchgeführt, entsteht eine neue lineare Abbildung.
Die Abbildungsmatrix der gesamten Transformation ist das Produkt der einzelnen Abbildungsmatrizen in umgekehrter Reihenfolge:
A=An⋅An−1⋅…⋅A2⋅A1
Beispiel - Der Punkt B(2|4) wird um180°gedreht und anschliessend 3 Mal so weit weg vom Ursprung platziert, wie er sich zu Beginn befand. Berechne die Koordinaten des gedrehten und gestreckten Punktes B’.
Stelle die Abbildungsmatrix auf:
(3003)(−100−1)=(−300−3)⋅24
Multipliziere die Abbildungsmatrix mit dem Vektor:
Eine lineare Abbildung transformiert einen Vektor zu einem neuen Vektor. Die Abbildung bzw. Transformation lässt sich als Matrix-Vektor Multiplikation darstellen.
Was ist eine typische lineare Abbildung?
Es können sowohl Vektoren als auch Punkte transfomiert werden. Wird ein Punkt transformiert, so transformiert man eigentlich den Vektor zwischen dem Ursprung und dem Punkt. Der transformierte Punkte befinden sich dann an der Spitze des transfomierten Vektors.
