Lineare Abbildungen mit Matrizen

Definition

Eine lineare Abbildung transformiert einen Vektor zu einem neuen Vektor.

"Der bestehende Vektor wird auf einen neuen Vektor abgebildet."

Die Abbildung bzw. Transformation lässt sich als Matrix-Vektor Multiplikation darstellen:

$A\cdot\vec{v}=\vec{v'}$

$A$ : Abbildungs- oder Transformationsmatrix

$\vec{v}$ : ursprünglicher Vektor

$\vec{v}$ : neuer, transformierter Vektor

$\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)\cdot v_1v_2=a_{11}\cdot v_1+a_{12}\cdot v_2a_{21}\cdot v_1+a_{22}\cdot v_2$

Typische lineare Abbildungen

Es können sowohl Vektoren als auch Punkte transformiert werden. Wird ein Punkt transformiert, so transformiert man eigentlich den Vektor zwischen dem Ursprung und dem Punkt. Der transformierte Punkt befindet sich dann an der Spitze des transformierten Vektors.

Für folgende Abbildungen existiert immer eine Abbildungsmatrix $A.$

Transformationen

Typ

Beispiel

Vektor:

\vec{v}=\binom{1}{2}

Beispiel

Punkt:

B(3|5)

Drehung um

90°

Drehung um

90°

im...

Uhrzeigersinn:	Es gilt: $A=\left(\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}\right)\$
Gegenuhrzeigersinn:	Es gilt: $A'=\left(\begin{matrix}0&-1\\1&0\\\end{matrix}\right)\$

um den Anfangspunkt des Vektors bei Vektoren oder um den Ursprung bei Punkten.

A \cdot \vec{v}=\binom{2}{-1}

A' \cdot \vec{v}=\binom{-2}{1}

A \cdot \vec{0B}=\binom{5}{-3}

A' \cdot \vec{0B}=\binom{-5}{3}

Drehung

180°

Drehung um

180°

:

Es gilt:

A=\left(\begin{matrix}-1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)\

um den Anfangspunkt des Vektors bei Vektoren oder um den Ursprung bei Punkten.

A \cdot \vec{v}=\binom{-1}{-2}

A \cdot \vec{0B}=\binom{-3}{-5}

Spiegelung Horizontal

Der Vektor wird horizontal gespiegelt.

Es gilt:

A=\left(\begin{matrix}-1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\

Die Referenzachse bildet die y-Achse.

A \cdot \vec{v}=\binom{-1}{2}

A \cdot \vec{0B}=\binom{-3}{5}

Spiegelung Vertikal

Der Vektor wird vertikal gespiegelt.

Es gilt:

A=\left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)\

Die Referenzachse bildet die x-Achse.

A \cdot \vec{v}=\binom{1}{-2}

A \cdot \vec{0B}=\binom{3}{-5}

Streckung

Der Vektor wird um einen Streckfaktor

d

gestreckt oder gestaucht.

Es gilt:

A=\left(\begin{matrix}d&0\\0&d\\\end{matrix}\right)\

d=2

A \cdot \vec{v}=\binom{2}{4}

d=2

A \cdot \vec{0B}=\binom{6}{10}

Kombination von linearen Abbildungen

Werden mehrere aufeinanderfolgende Transformationen durchgeführt, entsteht eine neue lineare Abbildung.

Die Abbildungsmatrix der gesamten Transformation ist das Produkt der einzelnen Abbildungsmatrizen in umgekehrter Reihenfolge:

$A=A_n\cdot A_{n-1}\cdot\ldots\cdot A_2\cdot A_1$

Beispiel - Der Punkt B(2|4) wird um $180°$  gedreht und anschliessend 3 Mal so weit weg vom Ursprung platziert, wie er sich zu Beginn befand. Berechne die Koordinaten des gedrehten und gestreckten Punktes B’.

Stelle die Abbildungsmatrix auf:

$\left(\begin{matrix}3&0\\0&3\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&0\\0&-3\\\end{matrix}\right)\cdot24$

Multipliziere die Abbildungsmatrix mit dem Vektor:

$\left(\begin{matrix}-3&0\\0&-3\\\end{matrix}\right)\cdot24=-6-12$