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Lineare Abbildungen mit Matrizen

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Lineare Abbildungen mit Matrizen

Erklärvideo

Lehrperson: Chiara

Zusammenfassung

Lineare Abbildungen mit Matrizen

Definition

Eine lineare Abbildung transformiert einen Vektor zu einem neuen Vektor.

"Der bestehende Vektor wird auf einen neuen Vektor abgebildet."


Die Abbildung bzw. Transformation lässt sich als Matrix-Vektor Multiplikation darstellen:

​A⋅v⃗=v′⃗A\cdot\vec{v}=\vec{v'}A⋅v=v′​​

AAA​: Abbildungs- oder Transformationsmatrix

v⃗\vec{v}v​: ursprünglicher Vektor

v⃗\vec{v}v​: neuer, transformierter Vektor

​(a11a12a21a22)⋅v1v2=a11⋅v1+a12⋅v2a21⋅v1+a22⋅v2\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)\cdot v_1v_2=a_{11}\cdot v_1+a_{12}\cdot v_2a_{21}\cdot v_1+a_{22}\cdot v_2(a11​a21​​a12​a22​​)⋅v1​v2​=a11​⋅v1​+a12​⋅v2​a21​⋅v1​+a22​⋅v2​​​


​

Typische lineare Abbildungen

Es können sowohl Vektoren als auch Punkte transformiert werden. Wird ein Punkt transformiert, so transformiert man eigentlich den Vektor zwischen dem Ursprung und dem Punkt. Der transformierte Punkt befindet sich dann an der Spitze des transformierten Vektors.


Für folgende Abbildungen existiert immer eine Abbildungsmatrix A.A.A.​


Transformationen 

Typ

​
Beispiel
Vektor: v⃗=(12)\vec{v}=\binom{1}{2}v=(21​)​​
Beispiel
Punkt: B(3∣5)B(3|5)B(3∣5)​​
Drehung um 90°90°90°​​
Drehung um 90°90°90°​ im...
Uhrzeigersinn:
Es gilt: A=(01−10) A=\left(\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}\right)\ A=(0−1​10​) ​​
Gegenuhrzeigersinn:
Es gilt: A′=(0−110) A'=\left(\begin{matrix}0&-1\\1&0\\\end{matrix}\right)\ A′=(01​−10​) ​​
um den Anfangspunkt des Vektors bei Vektoren oder um den Ursprung bei Punkten.
​A⋅v⃗=(2−1)A \cdot \vec{v}=\binom{2}{-1}A⋅v=(−12​)​​
​A′⋅v⃗=(−21)A' \cdot \vec{v}=\binom{-2}{1}A′⋅v=(1−2​)​​
​A⋅0B⃗=(5−3)A \cdot \vec{0B}=\binom{5}{-3}A⋅0B=(−35​)​​
​A′⋅0B⃗=(−53)A' \cdot \vec{0B}=\binom{-5}{3}A′⋅0B=(3−5​)​​
Drehung 180°180°180°​​
Drehung um 180°180°180°​:
Es gilt: A=(−100−1) A=\left(\begin{matrix}-1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)\ A=(−10​0−1​) ​​
um den Anfangspunkt des Vektors bei Vektoren oder um den Ursprung bei Punkten. 
​A⋅v⃗=(−1−2)A \cdot \vec{v}=\binom{-1}{-2}A⋅v=(−2−1​)​​
​A⋅0B⃗=(−3−5)A \cdot \vec{0B}=\binom{-3}{-5}A⋅0B=(−5−3​)​​
Spiegelung Horizontal
Der Vektor wird horizontal gespiegelt.
Es gilt: A=(−1001) A=\left(\begin{matrix}-1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\ A=(−10​01​) ​​
Die Referenzachse bildet die y-Achse.
​A⋅v⃗=(−12)A \cdot \vec{v}=\binom{-1}{2}A⋅v=(2−1​)​​
​A⋅0B⃗=(−35)A \cdot \vec{0B}=\binom{-3}{5}A⋅0B=(5−3​)​​
Spiegelung Vertikal
Der Vektor wird vertikal gespiegelt.
Es gilt: A=(100−1) A=\left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)\ A=(10​0−1​) ​​
Die Referenzachse bildet die x-Achse.
​A⋅v⃗=(1−2)A \cdot \vec{v}=\binom{1}{-2}A⋅v=(−21​)​​
​A⋅0B⃗=(3−5)A \cdot \vec{0B}=\binom{3}{-5}A⋅0B=(−53​)​​
Streckung
Der Vektor wird um einen Streckfaktor ddd​ gestreckt oder gestaucht.
Es gilt: A=(d00d) A=\left(\begin{matrix}d&0\\0&d\\\end{matrix}\right)\ A=(d0​0d​) ​​
​d=2d=2d=2​​
​A⋅v⃗=(24)A \cdot \vec{v}=\binom{2}{4}A⋅v=(42​)​​
​d=2d=2d=2​​
​A⋅0B⃗=(610)A \cdot \vec{0B}=\binom{6}{10}A⋅0B=(106​)​​



Kombination von linearen Abbildungen

Werden mehrere aufeinanderfolgende Transformationen durchgeführt, entsteht eine neue lineare Abbildung.


Die Abbildungsmatrix der gesamten Transformation ist das Produkt der einzelnen Abbildungsmatrizen in umgekehrter Reihenfolge:

A=An⋅An−1⋅…⋅A2⋅A1A=A_n\cdot A_{n-1}\cdot\ldots\cdot A_2\cdot A_1A=An​⋅An−1​⋅…⋅A2​⋅A1​​​

 

Beispiel - Der Punkt B(2|4) wird um 180°180°180°​ gedreht und anschliessend 3 Mal so weit weg vom Ursprung platziert, wie er sich zu Beginn befand. Berechne die Koordinaten des gedrehten und gestreckten Punktes B’.


Stelle die Abbildungsmatrix auf:

(3003)(−100−1)=(−300−3)⋅24\left(\begin{matrix}3&0\\0&3\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&0\\0&-3\\\end{matrix}\right)\cdot24(30​03​)(−10​0−1​)=(−30​0−3​)⋅24​​


Multipliziere die Abbildungsmatrix mit dem Vektor:

(−300−3)⋅24=−6−12\left(\begin{matrix}-3&0\\0&-3\\\end{matrix}\right)\cdot24=-6-12(−30​0−3​)⋅24=−6−12​​



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist die lineare Abildung mit Matrizen?

Eine lineare Abbildung transformiert einen Vektor zu einem neuen Vektor. Die Abbildung bzw. Transformation lässt sich als Matrix-Vektor Multiplikation darstellen.

Was ist eine typische lineare Abbildung?

Es können sowohl Vektoren als auch Punkte transfomiert werden. Wird ein Punkt transformiert, so transformiert man eigentlich den Vektor zwischen dem Ursprung und dem Punkt. Der transformierte Punkte befinden sich dann an der Spitze des transfomierten Vektors.

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